Para conocer con un solo indicador que tan disperso se encuentran un conjunto de datos a un punto de concentración, debemos como primera medida, calcular la distancia de cada dato respecto a una medida de tendencia central. Por ejemplo:

Tenemos que la media aritmética es de aproximadamente 3,0667 (indicador de tendencia central por excelencia). El primer dato (4), se aleja de la media en 0,9333 hacia la derecha. Gráficamente tendríamos:

Para el segundo dato (5) la distancia es de 1,9333 respecto a la media aritmética:

Note que el tercer dato (3) posee una distancia de 0,0667 hacia la izquierda de la media. Para indicar las distancias de estos puntos, agregaremos el signo negativo, por tanto, la distancia del tercer dato sería –0,0667. La representación gráfica de todos los puntos quedaría:

El total de las distancias de los puntos que están a la izquierda respecto a la media es de -8,6 (empleando todos los decimales), que es igual a la sumatoria de las distancias de los puntos que están a la derecha respecto a la media 8,6. Concluimos que la sumatoria de todas las distancias de cada punto respecto a la media aritmética es igual a cero (las distancias se anulan):

Para responder a la pregunta de ¿qué tan disperso están los datos respecto a la media aritmética?, recurriremos nuevamente al promedio simple. Para llegar a una fórmula básica de dispersión, en que las distancias positivas y negativas no se eliminen, modificaremos la fórmula anterior para trabajar solo con distancias positivas mediante el valor absoluto:

La distancia promedio sería de aproximadamente 1,15 (resultado de la división entre la distancia total absoluta y el total de datos). A esta distancia promedio se le conoce con el nombre de desviación media y significa que en promedio, los datos se separan de la media en 1,15.

Desviación media (Dm): Equivale a la división de la sumatoria del valor absoluto de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética y el número total de datos.

Se debe hacer la distinción que para datos poblacionales (no agrupados), la fórmula quedaría:

La variación para los datos agrupados en tablas tipo B radica en cambiar el valor de X_i por la marca de clase correspondiente, multiplicando esa distancia por su frecuencia:

Para las tablas tipo A solo cambiaremos la marca de clase por su respectivo valor de clase (representada por X_i):

5.1.1 Ejemplo: Desviación media para datos no agrupados

Tres alumnos son sometidos a una competencia para probar sus conocimientos en 10 materias diferentes, cada una sustentada con 10 preguntas. La idea del concurso es encontrar al alumno más idóneo para representar al colegio en un torneo a nivel nacional.

El número de preguntas buenas por materia se muestra a continuación:

SOLUCIÓN

Lo primero que analizaremos es la media de los puntajes para cada uno de los alumnos, con el fin de determinar el alumno con mayor promedio de preguntas buenas.

Las medias para los resultados de los alumnos coinciden: los tres alumnos tienen responden en promedio 5 preguntas correctas por prueba. ¿Cuál sería entonces el indicador diferenciador entre los alumnos?.

Complementemos el análisis anterior calculando la desviación media:

Carlos muestra una desviación media de 3,9 indicando que los datos se alejan en promedio de la media en 3,9 preguntas buenas. Pedro disminuye su variación (2,9), siendo Juan el que menos variación presenta con 0,9 preguntas tanto por arriba como por debajo de la media aritmética. Se recomienda al colegio elegir como ganador en este caso a Juan, presenta resultados más constantes que los otros dos alumnos, Juan en promedio acierta 5 preguntas buenas con una variación muy baja (rondando entre 4 y 6).

5.1.2 Ejemplo: Desviación media para datos agrupados

Una maquina dispensadora de gaseosas esta programada para llenar un envase con 350 c.c. de un refresco popular. A partir de una muestra de prueba realizada sobre 30 envases se realizó la siguiente tabla de frecuencia:

Calcular e interpretar la desviación media.

SOLUCIÓN

PASO 1: Calcular la media aritmética.

PASO 2: Calcular la desviación media.

La desviación media es de aproximadamente 8,8 c.c. Concluimos que con datos suministrados de una muestra, el dispensador llenó los 30 envases con un promedio de 157,095 c.c. con una desviación media de 8,8 c.c.

La desviación media describe un rango de dispersión promedio de llenado del dispensador, ubicándolo entre 148,295 c.c. (equivale a restar la media a la desviación media) y 165,895 c.c. (sumar una desviación media a la media aritmética).

5.1.3 Cálculos de la desviación media en Excel

Presentaremos el cálculo de la desviación media en Excel tanto para datos sin agrupar, como para los datos agrupados en tablas de frecuencias. Copiemos los siguientes datos a partir de la celda B2.

Excel cuenta con la función DESVPROM para el cálculo de la desviación media para datos sin agrupar.

DESVPROM: Calcula la desviación media de un conjunto de datos numéricos.   Formato: DESVPROM(número1;número2; ) Categoría: Estadísticas

Activemos esta función en la celda B9, señalando el rango de celdas B2:F7 en el campo número1.

Al pulsar en el botón Aceptar, se mostrará la desviación media.

Para el cálculo de la desviación media en tablas de frecuencia debemos calcular de antemano la media aritmética y el valor absoluto de las distancias.

Copiemos la siguiente tabla de frecuencia en una hoja nueva en Excel (es la misma utilizada en el ejemplo 5.1.2).

El primer paso es calcular la media aritmética para datos agrupados con ayuda de la función SUMAPRODUCTO (ver el ejemplo dado en el punto 4.1.7), aplicado sobre las frecuencias y marcas de clases.

Luego hallaremos las distancias de cada marca de clase respecto a la media, convirtiéndolas a su valor absoluto con la función ABS.

ABS: Devuelve el valor absoluto de un número.   Formato: ABS (número) Categoría: Matemáticas y trigonométricas

Esta función posee un único campo (número) el cual contendrá, la distancia entre la marca de clase y la media. Para el primer intervalo de clase tendríamos:

Donde F3 representa la primera marca de clase y B11 la media aritmética. Para completar el cálculo, multiplicaremos esta función por la frecuencia respectiva:

Para poder arrastrar la fórmula, debemos recordar que la celda B11 no varía (la media aritmética es una sola), ubicándonos sobre las letras B11 en modo de edición y luego pulsando la tecla F4.

El resultado final, después de haber arrastrado la fórmula, debería verse como sigue:

El total de las distancias se muestra en la celda G9. La desviación (que ubicaremos en la celda B12), es el resulta de la división de la distancia total sobre el número de datos empleados en el ejercicio.