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5.2.4.2. La desviación típica y otras medidas de dispersión

La variación o dispersión de los datos numéricos es el grado en que estos tienden a extenderse alrededor de un valor medio. Existen diferentes medidas de dispersión o variación, las más utilizadas son el rango (expuesto en el numeral 5.2.1.), la desviación media, el rango semiintercuartílico, el rango entre percentiles 10-90 y la desviación típica.

Cuartiles, Deciles y Percentiles

Si un conjunto de datos están ordenados por magnitudes, el valor central (o la media de los dos centrales) que dividen al conjunto en dos mitades iguales, es la mediana. Extendiendo esa idea, podemos pensar en aquellos valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales. Esos valores denotados por Q1, Q2 y Q3, son el primer cuartíl, segundo cuartíl y tercer cuartíl, respectivamente. EL Q2 coincide con la mediana.

Similarmente, los valores que dividen a los datos en 10 partes iguales son los deciles, representados por D1, D2,..., D9, mientras que los valores que lo dividen en 100 partes iguales son los percentiles, denotados por P1, P2,..., P99. El 5º decil y el 50º percentil coinciden con la mediana. Los 25º y 75º percentiles coinciden con el primer y tercer cuartiles.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles son los cuantiles.

Las medidas de dispersión tratan de medir el grado de dispersión que tiene una variable estadística en torno a una medida de posición o tendencia central, indicándonos lo representativa que es la medida de posición. A mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y viceversa.

d) Desviación media absoluta, o promedio de desviación

Indica las desviaciones con respecto a la media aritmética en valor absoluto. De una serie de N números X1, X2,... Xn definido por:

Donde es la media aritmética de los números y es el valor absoluto de las desviaciones de las diferentes de . Valor absoluto de un número es el mismo número sin signo asociado alguno, representado por dos barras verticales a ambos lados del número. Así tenemos:

Ejercicio 04 (Desviación media)

Calcular la desviación media de los números: 4, 5, 8, 10, 13

Solución

1º Calculamos la media aritmética de los números, aplicando la fórmula (28) y la función PROMEDIO de Excel:

2º Aplicando la fórmula (29) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la desviación media:

Si X1, X2;..., Xk presentan con frecuencias f 1, f2,..., fk, respectivamente, la desviación media la podemos representar como:

A veces, la desviación media es definida como desviaciones absolutas de la mediana u otro promedio en lugar de la media. La desviación media respecto de la mediana es mínima.

Ejercicio 05 (Desviación media)

Calcular la desviación media de las siguientes series de números:

Serie 1: 11, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5

Serie 2: 10, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Solución

1º Aplicando la fórmula (28) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la media aritmética de cada serie:

1º Calculamos la media aritmética de cada una de las series aplicando la fórmula (34) y la función Promedio de Excel:

2º Con la fórmula (35) y la función PROMEDIO de Excel, calculamos la desviación media de cada una de las series:

Finalmente, la desviación media evidencia que la serie (2) tiene menos dispersión que la serie (1).

e) Desviación típica o desviación estándar

La desviación estándar es una medida estadística de la dispersión de un grupo o población. Una gran desviación estándar indica que la población esta muy dispersa respecto de la media; una desviación estándar pequeña indica que la población está muy compacta alrededor de la media.

La desviación típica o estándar para una población puede definirse como:

Donde a es un promedio que puede ser distinto de la media aritmética. De todas las desviaciones típicas, la mínima es aquella para la que a =. El número de elementos de la población esta representado por N.

Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente dicha), generalmente es utilizada la siguiente relación:

Denominada desviación estándar muestral o desviación estándar corregida. El número de elementos de la muestra lo representa n.

Cuando es necesario distinguir la desviación estándar de una población de la desviación estándar de una muestra sacada de esta población, empleamos el símbolo s para la última y para la primera. Así, s2 y representarán la desviación estándar muestral y poblacional, respectivamente.

f) Varianza

La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética. Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión existirá y por tanto menor representatividad tendrá la media aritmética. La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable analizada, pero elevadas al cuadrado.

La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar y viene dada, por tanto, por para una población o s2 para una muestra:

Cuando la muestra es pequeña (muestra propiamente dicha), generalmente es utilizada la siguiente relación:

Denominada varianza muestral o varianza corregida