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7 Modelos de utilidad discreta

 

Generalmente las elecciones de los consumidores involucran elecciones discretas como usar gas o no, usar energía eléctrica o no, comprar un automóvil o no, etc. En los capítulos anteriores hemos considerado a un individuo que elige una alternativa de un conjunto de elecciones finitas A. Si en A se cumplen los axiomas de completitud, reflexividad y transitividad, y dado que A es finita, entonces una alternativa óptima ...

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Para Tversky, cuando se realiza una elección entre varias alternativas, las personas parten de experiencias inciertas e inconsistentes. Esto es, las personas no están seguras sobre cuál alternativa deberían seleccionar, así como tampoco toman siempre la misma elección bajo condiciones parecidas. Este comportamiento, aparentemente irracional, lleva al autor a concluir que "el proceso de elección debe ser visto como un proceso probabilístico" (Tversky, 1972, p. 281).

Naturalmente, deberemos preguntarnos qué factores determinan dicha probabilidad. Es decir, el comportamiento de los agentes es intrínsecamente probabilístico o el modelador no puede representar el comportamiento del consumidor, o ambos.

Con respecto a lo primero, Quandt (1956) arguye que una alternativa puede ser vista como un conjunto finito de características, donde las preferencias son definidas directamente sobre las características e indirectamente sobre las alternativas.

Para Quandt, puede que las personas, en alguna ocasión, consideren algunas características de una alternativa y/o cometan un error al evaluar la importancia de una característica asociada con una alternativa; de esta forma, las circunstancias bajo las cuales las elecciones son efectivamente realizadas pueden "perturbar" la percepción y/ o la deseabilidad de una alternativa. Quandt cita el siguiente ejemplo: Un hombre que compra vino, podría comprar una botella sin tener en cuenta la cosecha, pero ante la presencia de un catador de vinos él podría comprar un vino de mejor cosecha; de esta forma, el comportamiento individual podría cambiar de acuerdo con factores externos, sin que las preferencias individuales sobre las características hayan cambiado. Desde este punto de vista, el proceso de elección es intrínsecamente probabilístico.

Para Manski (1977), la falta de información lleva al modelador a determinar reglas probabilísticas de elección en los individuos más que la falta de racionalidad. Ambas interpretaciones llevan a un esquema probabilístico donde se pueden diferenciar dos familias de modelos: La primera familia parte de que la regla de decisión es estocástica mientras la utilidad es determinística (Luce, Tversky). La segunda familia parte de una regla de decisión determinística mientras la utilidad es estocástica (Macfadden, Thurstone). Ambas familias pueden distinguirse a través de la naturaleza del mecanismo aleatorio que gobierna la elección.

Otra aproximación es realizada por Machina (1985), para quien el individuo maximiza una utilidad determinística definida sobre loterías en el conjunto de elección. En la aproximación de Machina la utilidad se define sobre las loterías, y las probabilidades de estados alternativos de la naturaleza provienen exógenamente.

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7.1. Reglas de decisión

7.1.1. Modelos con regla de decisión estocástica

La interpretación proviene de Tversky (1972a), para quien la utilidad de diferentes alternativas es determinística, pero el proceso de elección en sí mismo es probabilístico. En este tipo de modelos el individuo no necesariamente elige la alternativa que da la mayor utilidad; en lugar de esto, existe una probabilidad de elegir cada una de las posibles alternativas, incorporando la idea de "racionalidad limitada" dado que los individuos no necesariamente seleccionan lo que es mejor para ellos [Macfadden (1981, pp.198)]. El primer modelo desarrollado bajo esta perspectiva es el de Luce (1959). Luce muestra que cuando las probabilidades de elección satisfacen los axiomas de elección, una escala puede ser definida sobre las alternativas, de tal forma que las probabilidades de elección pueden ser derivadas de escalas de alternativas.

El modelo de Luce tiene como inconveniente que una nueva alternativa, que sea más que proporcional a las otras, reducirá las probabilidades de elección de alternativas existentes que son similares y causará reducciones menos que proporcionales en las probabilidades de elección en alternativas diferentes (Anderson, et. al, pp. 23-25).

Tversky (1972), propone que la elección de una alternativa puede verse como un proceso estocástico, en el cual las alternativas son sucesivamente eliminadas hasta que quede solamente una; para esto supone que cada alternativa está compuesta por una lista de características, las cuales son binarias en términos de que las alternativas poseen o no dichas características (por ejemplo, un automóvil puede o no tener aire acondicionado, sonido, etc.). En el caso de características que no sean estrictamente binarias (verbi gracia, el número de kilómetros recorridos por galón), Tversky sugiere usar niveles de umbrales, por ejemplo si el carro puede alcanzar más o menos 30 Kilómetros por galón, para convertirlas en binarias.

A cada característica se le asigna una escala positiva o valor de "utilidad" expresando la importancia de la característica para el individuo. El proceso de selección de una alternativa es el siguiente: Primero, una característica se selecciona y todas las alternativas que no posean esta característica son eliminadas del conjunto de elección.

Segundo, se selecciona como el criterio para eliminar aquellas alternativas que quedan y así sucesivamente. Si una alternativa queda, ésta es la alternativa elegida por el individuo. Si varias alternativas quedan, ellas son elegidas con igual probabilidad.

La probabilidad de seleccionar una característica como el criterio de elección de las alternativas que quedan depende de la escala de valores. Como podrán existir secuencias de eliminación diferentes, la probabilidad de elegir una alternativa particular es la suma de las probabilidades de todas las secuencias que finalizan con esta alternativa. Esta aproximación es muy parecida a la ordenación de preferencias lexicográficas, sin embargo, es diferente debido a que el orden de selección de las características es aleatorio mientras éste viene dado a priori en el modelo lexicográfico.

Para ilustrar el proceso de eliminación de Tversky considere el siguiente ejemplo: Existen tres alternativas A = { a, b, c } y siete características i = 1,2,...,7. Cada característica se asocia con una escala de utilidad i. Las alternativas en A son discretas, por lo cual:

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7.1.2. Modelos con utilidad estocástica

Existen dos versiones tradicionales de los modelos de utilidad estocástica. El primero proviene de Thurstone a partir de la teoría sicológica de la elección individual y el segundo proviene de Macfadden en la versión económica de la elección discreta. El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de comparar intensidades de estímulos físicos, por ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un estímulo provoca una "sensación" o un estado sicológico que es la realización de una variable aleatoria. De esta forma, "las utilidades se asumen que varían de un momento a otro , y el proceso de decisión consiste en una regla fija de escoger la alternativa con la mayor utilidad momentánea" Edgell y Geisler (pp. 266).

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7.2. Funciones de densidad para elecciones discretas

Para determinar las probabilidades de elección, se deberá especificar la distribución de las variables aleatorias i. Estas probabilidades para una serie de distribuciones, como la del modelo de probabilidad lineal, del Logit, el Probit y el Multinomial, se conocen como modelos de elección binaria. Sea f(X), la

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7.3. Funciones de utilidad y funciones indirectas de utilidad

Un individuo consume de acuerdo con una función de utilidad definida sobre los bienes X1,......Xn y Z, siendo Z el numerario. La utilidad del consumidor podría también depender de una serie de atributos de los bienes X's denotadas por b1,.....bn, los cuales son tomados exógenamente; adicionalmente las preferencias podrían depender de características propias como la educación, la raza, la cultura, la edad..., etc., representadas por el

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7.4. Elecciones discretas con productos diferenciados

El consumidor representativo es un agente cuya utilidad nos muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la práctica los consumidores tienden a comprar, solamente una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante criticado19. Como bien lo han señalado Archival, Eaton y Lipsey (1986), la cuestión sobre cuándo el consumidor representativo puede constituir una descripción agregada válida de una población de consumidores caracterizados por elecciones discretas en el ámbito individual es un punto de discusión abierto.

En este sentido, el interés principal de esta sección, consistirá en mostrar cómo encontrar un consumidor representativo para una población de consumidores que realizan elecciones discretas, dados unos supuestos sobre el proceso de elección o la elección de probabilidades y cuáles serían las propiedades de la función de utilidad correspondiente.

Suponga que existen m+1 bienes y N consumidores estadísticamente idénticos e independientes.

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7.4.1. La función de demanda para un continuo de consumidores

7.4.2. El consumidor representativo multinomial

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7.5. Análisis de riqueza

En un análisis continuo se puede encontrar el excedente del consumidor a través de integrar la curva de demanda compensada entre dos precios. Sin embargo, en el análisis discreto existirán puntos de discontinuidad y no-diferenciación en la función indirecta de utilidad y en la función de gasto, por lo tanto existirán problemas al integrar las funciones. La demanda se podría modelar, como observan Small y Rosen (1981), a través de tres aproximaciones: Primero, pensar que los bienes son disponibles en cantidades continuas, pero solamente en un pequeño número de variedades mutuamente excluyentes; un ejemplo sería una casa: usted podría alquilarla o vivir en ella, pero solamente la posesión de la misma le daría una cantidad continua de usos para ser consumidas, como clavar puntillas para colgar cuadros, pintarla de todos los colores y las veces que usted quisiera, etc.

Segundo, los bienes pueden son disponibles en unidades discretas entre más consumidores elijan una o dos unidades, como en el caso del transporte para trabajadores, los colegios, las antenas parabólicas, y en general muchos bienes durables.

Tercero, los bienes pueden ser comprados en unidades discretas pero debido a las noconcavidades en la función de utilidad, llevaría al consumidor a elegir entre soluciones alternativas de esquina. Por ejemplo, podríamos tener dos o más televisores con diferentes programas cada uno y observarlos al mismo tiempo; sin embargo, ver un sólo programa podría generar mayor utilidad que ver dos programas al mismo tiempo.

7.5.1. El teorema de Small y Rosen

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Jhon James Mora R.
Departamento de Economía,
Universidad ICESI
e-mail: jjmora@icesi.edu.co
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