Introducción

La desigualdad en la distribución de ingresos es quizás el aspecto económico más crítico y central en el ámbito de la pobreza y el bienestar social. Algunas corrientes- la economía bienestarista en particular- identifican la desigualdad económica y la disminución del bienestar social como fenómenos concomitantes, acompañados por el crecimiento de la pobreza y la criminalidad. Otros enfoques, como la teoría de la U invertida de Kuznets, plantean que el crecimiento económico requiere de un crecimiento inicial en la desigualdad y que por lo tanto la desigualdad es un mal necesario, una faceta inevitable de una economía en desarrollo. Sea como fuere, la medición de la desigualdad es clave para evaluar el rumbo de la economía de un país y el impacto social de las políticas gubernamentales. En el enfoque moderno de la medición de la desigualdad, la curva de Lorenz ocupa un lugar central.



La Curva de Lorenz Discreta y las Medidas de Desigualdad Derivadas de Ella

La curva de Lorenz, ideada por el economista norteamericano Max Otto Lorenz en 1905, es en esencia un método gráfico para comparar la desigualdad inherente en dos o más distribuciones de ingresos. Indica cuál porcentaje del ingreso total - L(p)- percibe un determinado porcentaje más pobre p de la población. Dicho de otra manera, si se conocen los niveles de ingresos de una población de n individuos y se ordenan ascendentemente, los k individuos con niveles de ingresos más bajos constituyen la fracción k/n más pobre de la población. Si se suman los niveles de ingresos de esos k individuos más pobres y se divide esta cifra entre la suma total de todos los niveles de ingresos de la población, el cociente resultante corresponde al porcentaje del ingreso total que percibe esa determinada fracción más pobre. Graficando estos porcentajes del ingreso total como ordenadas (eje y) y los correspondientes porcentajes más pobres de la población como abscisas (eje x), se obtiene la curva de Lorenz de esa distribución de ingresos.

En la situación más igualitaria posible, en la que todos los individuos perciben el mismo nivel de ingresos, la curva de Lorenz se corresponde a la recta bisectriz del cuadrado unitario (Figura 1A). Si, por el contrario, un individuo concentra en sí todo el ingreso y los demás no tienen ingreso, lo cual representa la distribución más desigual posible, la curva de Lorenz se corresponde a aquella señalada en la Figura 1B. Cualquier distribución de ingresos posible tiene una curva de Lorenz que yace en el área delimitada por las curvas de estos dos extremos (Figura 1C).


Figura 1A - Curva de Lorenz de la distribución absolutamente igualitaria. Figura 1B - Curva de Lorenz de la distribución absolutamente desigual. Figura 1C – Toda curva de Lorenz yace en el área sombreada.




Es fácil ver porque la curva de Lorenz se convirtió rápidamente en un instrumento popular para analizar la desigualdad económica de una población o comparar el grado de desigualdad de dos poblaciones: la curva de Lorenz de la distribución más desigual es aquella que está lo más alejada posible de la recta bisectriz del cuadrado unitario, independientemente del tamaño de las poblaciones comparadas o los niveles de ingresos absolutos de cada una de las distribuciones. Dicho de otro modo, la población menos desigual es aquella cuya curva de Lorenz siempre domina o esta por encima de la curva de Lorenz correspondiente a la distribución más desigual (relación de Lorenz-dominancia).

La curva de Lorenz, tal como fue definida por el mismo Lorenz, se basaba en un conjunto de datos empíricos constituido por un número finito de observaciones, razón por la cual la curva de Lorenz, según la definición de 1905, se puede denominar también “curva de Lorenz empírica” o “curva de Lorenz discreta”. Lorenz mismo nunca definió en su artículo la curva en términos de formulas, pero existen muchas definiciones de la curva discreta o empírica hechas por autores modernos, una de las cuales se da a continuación:


Definición 1- Curva de Lorenz empírica
Considérese una muestra de n puntos x1,...,xn tales que xi ≥ 0, y donde x(1),...,x(n) son los estadísticos de orden correspondientes. La curva de Lorenz se define entonces en términos de n+1 puntos que corresponden a la porción del ingreso total que poseen los i individuos más pobres:

[1]

Esta curva se interpola para cualquier elemento del dominio p[0,1] que no sea de la forma k/n del siguiente modo:


[2]



De esta definición se desprende que la curva de Lorenz empírica se construye a partir de unos puntos (pi,L(pi))=(pi,qi) interpolando linealmente entre estos puntos, aunque Lorenz tampoco dio en su artículo indicación explicita de que la interpolación fuese lineal .

Es oportuno situar la definición de la curva de Lorenz recién expuesta dentro del ámbito de la medición de la desigualdad económica. Las observaciones, o el conjunto de datos mediante los cuales se construye la curva de Lorenz empírica tienen ciertas características que se deben tomar en cuenta al momento de realizar un estudio consistente o para comparar la desigualdad entre dos poblaciones. Estas características se refieren a precisar el concepto de ingreso utilizado, los recipientes o unidades beneficiarias de dicho ingreso, y la cobertura geográfica, temporal y poblacional del estudio. Cuando se pretende discriminar los cambios a través del tiempo de una determinada distribución de ingresos, las series de datos de cada uno de los periodos de tiempo deben ser consistentes entre si en cuanto a estas características o por lo menos deben tomarse en cuenta estos aspectos para que los estudios sean comparables.

La data recolectada en tales estudios, que generalmente provienen de censos, se conoce en su forma bruta como datos primarios, micro-datos o datos desagrupados. De una muestra tal se obtienen las medidas de ingresos x1,...,xn que se utilizan en la construcción de la curva de Lorenz u otros indicadores de desigualdad. Los datos primarios generalmente constan de un número muy grande de observaciones, por lo cual n puede estar por el orden de decenas de miles o cientos de miles. Aún cuando la micro-data pueda estar a disposición del investigador, tal volumen de observaciones hace difícil su manejo y por estos motivos, generalmente se presenta en una forma más resumida, que se denomina datos secundarios, macro-datos o datos agrupados. En los formatos más comunes de presentación de la macro-data, se indican los intervalos o rangos de ingreso, el porcentaje de la población cuyos ingresos se ubican en ese rango, el ingreso medio en cada rango y los totales de población y de ingresos generales y dentro de cada rango. Si se tienen 5 intervalos de ingresos, la macro-data está especificada en quintíles. Con 10 intervalos de ingresos, se dice que la macro-data está dada en decíles.

Los datos primarios sobre la distribución de ingresos en Venezuela para los años 1995, 1997 y 2001 que se van a analizar y comparar en este artículo provienen de encuestas de hogares realizadas por el INE . A partir de estos cuadros, se obtiene un conjunto de nueve puntos qi=L(pi) correspondientes a los deciles 1 al 9 para construir una curva de Lorenz empírica. Típicamente, en un cuadro de macro-data se especifican quintiles, deciles o ventiles poblacionales, según el rango de ingresos del correspondiente sector. De ahí se ve que el conjunto de puntos disponibles para construir una curva de Lorenz a partir de la macro-data es bastante limitado. A veces se indica también el rango de ingresos y el ingreso medio en cada rango, por lo cual se establece oportunamente la siguiente definición :

Definición 2- Ingreso medio del i-ésimo intervalo de ingresos
Considérese un conjunto de puntos que caracterizan a una curva de Lorenz empírica y sea  el ingreso medio de la población. Adicionalmente considérense las pendientes βi de los segmentos de recta de la curva de Lorenz empírica, o sea:
[3]

Entonces, el ingreso medio del i-ésimo intervalo de ingresos viene dado por i= βi  μ.

En el afán de resumir aún más la información referente a la desigualdad en un conjunto de datos de ingresos, se han ideado medidas de desigualdad que sintetizan el grado de desigualdad en un índice numérico. Tal es el caso del índice de Gini, que puede ser definido como la razón del área entre la curva de Lorenz empírica y la recta bisectriz del cuadrado unitario (área A en la gráfica) y el área del triangulo inferior dentro del cual esta incluida la curva de Lorenz empírica (área A+B en la gráfica):

Figura 2- Relación Geométrica entre la curva de Lorenz empírica y el índice de Gini








Esta relación geométrica entre el coeficiente de Gini y la curva de Lorenz conlleva a un método computacional para el cálculo del índice de Gini denominado método Geométrico, según la nomenclatura en un artículo de Kuan Xu . Teniendo en cuenta que el área del triángulo inferior es ½ y equivalentemente A+B = ½, se deriva la siguiente expresión para el coeficiente de Gini G:

[4]

Considerando los casos extremos de la curva de Lorenz, igualdad o desigualdad absoluta, se verifica que el índice Gini es una medida acotada entre cero y uno: . Existen otras definiciones equivalentes para el coeficiente de Gini que dan pié a otros métodos de cálculo para esta medida de desigualdad. Una de estas fórmulas, procedente de los trabajos originales de Corrado Gini , conceptúa a G como una medida dependiente del “promedio aritmético de las diferencias entre n magnitudes”, dividida entre el doble de la media de los n niveles de ingresos para acotar a G dentro del intervalo [0,1]. En este estudio, el interés principal en cuanto a medidas numéricas de desigualdad es sobre el coeficiente de Gini formulado según la expresión [4].

Es necesario señalar aquí una característica importante de la curva de Lorenz empírica y de las medidas de desigualdad derivadas de ella- tanto la curva de Lorenz empírica y las medidas de desigualdad relacionadas, en cuanto estas se calculan a partir de un conjunto muy limitado de macro-data, inducen a una infravaloración del grado de desigualdad. Dicho de otra manera, el coeficiente de Gini calculado según la fórmula [4] a partir de la curva de Lorenz empírica es en realidad la cota inferior del que fuese el verdadero valor poblacional de G. Para entender porqué esto sucede, es necesario tener en cuenta que la curva de Lorenz es una función creciente y convexa en el intervalo [0,1] y que por lo tanto, debido al mecanismo de interpolación lineal, la curva de Lorenz discreta domina a cualquier otra curva de Lorenz de la misma población construida a partir de un conjunto mayor de clases de ingresos. De hecho, de la interpolación lineal se desprende que los individuos en cada nivel de ingresos percibirían el mismo nivel de ingreso medio μi del correspondiente intervalo, lo cual representa claramente la situación de menor desigualdad consistente con la macro-data.

La Curva de Lorenz Continua, sus Propiedades y Formas Funcionales

Lo expuesto anteriormente sobre la infravaloración de la desigualdad inherente al uso de la curva de Lorenz empírica motiva a redefinir la curva de Lorenz como una función obtenida a partir de la función de distribución de probabilidad asociada al nivel de la renta de los individuos, conceptuando esta cantidad como una variable aleatoria continua. Con esto se pretende modelar matemáticamente la distribución de la renta formulando la curva de Lorenz como una función dependiente de uno, dos o tres parámetros sin que por ello se distorsione el patrón de distribución de ingresos sugerido por la macro-data o se incurra en la situación poco realista de infravalorar de la desigualdad dentro de cada intervalo de clases. Más aún, la distribución de cualquier variable aleatoria no negativa con esperanza finita tiene asociada una curva de Lorenz en términos de la definición 3:

Definición 3- Caracterización de la curva de Lorenz (Gastwirth, 1971)
Sea X L+, donde L+ denota la clase de todas las variables aleatorias no negativas con primer momento finito, y sea FX-1 la función cuantil definida por . . Las ordenadas de la curva de Lorenz para todo p[0,1) vienen dadas por:
[5]

Definir la curva de Lorenz continua requiere especificar una función de distribución de probabilidad que modele adecuadamente los niveles de renta de la población, siempre que esta variable aleatoria sea no negativa y tenga un primer momento (esperanza) finito. Resolviendo la integral en la fórmula [5] se tiene entonces lo que se conoce como especificación de la curva de Lorenz. La curva de Lorenz continua L(p), o especificación, es una función continua y dos veces derivable que satisface las siguientes propiedades consistentes con las propiedades de la curva de Lorenz empírica:

i) L(0)=0
ii) L(1)=1
iii) L’(p)≥0 (L es creciente en [0,1])
iv) L’’(p)≥0 (L es convexa en [0,1])
v)

La primera derivada de L(p) vincula la curva de Lorenz con las medidas de pobreza o desigualdad que impliquen valores marginales de la renta , como por ejemplo el índice de recuento (head-count index). Esta relación entre p y su nivel asociado de renta permite también deducir una cota máxima para el coeficiente de Gini (equivalentemente, una curva de Lorenz asociada a la máxima desigualdad consistente con los datos agrupados).

Una vía alternativa para obtener la especificación de la curva de Lorenz consiste en ajustar la curva de Lorenz a formas funcionales que no provengan de alguna suposición sobre la distribución estadística de los niveles de ingreso. La motivación principal tras la metodología de las formas funcionales es modelar fielmente la distribución de ingresos mediante una especificación que se aproxime en la mayor medida posible a los puntos decíles (o quintíles) de la curva de Lorenz empírica proveniente de los datos agrupados. Esta metodología fue propuesta por Kakwani y Podder en 1973 y desde entonces se han sugerido muchas formas funcionales. Todas las formas funcionales propuestas se consideran especificaciones auténticas de la curva de Lorenz en la medida en que verifican las primeras cuatro propiedades enunciadas anteriormente. Como las formas funcionales se determinan mediante uno, dos o tres parámetros, se debe indicar el rango admisible de los valores de cada parámetro de tal modo que se verifiquen estas cuatro propiedades.

La diversidad de formas funcionales existentes se enmarca dentro de algún método de generación. Así por ejemplo, la forma funcional Cuadrática General de Villaseñor y Arnold proviene de asemejar la curva de Lorenz al segmento de una elipse, las formas funcionales de Rasche, Ortega y Sarabia se deducen a partir de la forma funcional de Pareto apoyándose en unos teoremas enunciados por Sarabia en 1999 y finalmente, en un trabajo de Casas, Herrerías y Núñez (1990), se presenta una vía para obtener especificaciones funcionales inspirada en la ecuación diferencial generadora de la familia de distribuciones continuas univariantes de Pearson .

La literatura ofrece comparaciones empíricas entre distintas formas funcionales estimadas para determinados países en diversos periodos de tiempo. Así por ejemplo, en 1993 Chotikapanich propuso su forma funcional de un solo parámetro señalando que esta permitía calcular con mayor precisión que otras formas funcionales el índice de Gini para la distribución de gastos en Tailandia . Otros investigadores señalan que la forma funcional Beta de Kakwani y la Cuadrática General, de tres parámetros cada una, generalmente se ajustan mejor a la curva de Lorenz empírica . En este trabajo, se evalúan comparativamente la forma funcional de Pareto, la Beta de Kakwani, la de Ortega, la de Rasche, la de Sarabia, la Cuadrática General y la de Chotikapanich en cuanto al ajuste a la data venezolana sobre la distribución de ingresos en 1995, 1997 y 2001. El lector es invitado a consultar la Tabla 1, donde se definen estas formas funcionales, los rangos admisibles de sus parámetros y los métodos de estimación empleados en este estudio.

Tabla 1- Formas funcionales utilizadas para el ajuste de la data venezolana
En la columna de “Método de Estimación”, MCL se refiere a mínimos cuadrados lineales, MCNL es mínimos cuadrados no lineales y ER es la estimación robusta de Sarabia.

Forma Funcional Cantidad de
Parámetros Método de
Estimación
Cuadrática general 3 MCL


Forma linealizada:

Beta de Kakwani 3 MCL

Forma linealizada:

Rasche 2 MCNL y ER

Ortega 2 MCNL y ER

Sarabia 3 MCNL

Chotipakanich 1 ER

Pareto 1 MCL

Forma linealizada:





Métodos de Estimación de Formas Funcionales y Medidas de Bondad de Ajuste

La metodología de las formas funcionales entraña utilizar un método de ajuste para calcular los parámetros de cada especificación y posteriormente evaluar la bondad de ajuste, que no es otra cosa que verificar en que medida se acerca la especificación en los puntos pi a los valores L(pi) proporcionados por la data agrupada. La estimación por mínimos cuadrados lineales es la más fácil puesto que puede ser realizada mediante cualquier software matemático o estadístico, incluso hasta en Excel. Sin embargo, se requiere que la forma funcional sea lineal en los parámetros que se desean estimar, o de no ser así, que sea linealizable mediante alguna transformación logarítmica conveniente. De las formas funcionales analizadas en este trabajo, solo la de Pareto, la Beta de Kakwani y la Cuadrática General se pueden estimar mediante mínimos cuadrados lineales. En la Tabla 1 también se indica la forma linealizada en los casos donde aplica.

Para el ajuste de las formas funcionales no linealizables, se puede utilizar el método de los mínimos cuadrados no lineales. Este método requiere que el investigador proporcione una estimación inicial de los parámetros de la forma funcional y a partir de esto se obtienen iterativamente las estimaciones de los parámetros de forma tal que se minimice, por lo menos localmente, la suma de los errores cuadráticos (SEC). El inconveniente de este método es que los parámetros estimados no necesariamente minimizan el SEC de forma absoluta, o puede ocurrir que el método ni siquiera converja a una solución, como resultó en este trabajo con la forma funcional de Chotikapanich. En los casos de estimación por mínimos cuadrados no lineales se utilizó un software disponible en Internet .

Por último, también se utilizo el método de estimación robusta propuesto por Sarabia et al en 1999. A diferencia de la estimación por mínimos cuadrados, esté método prescinde de la suposición de que los residuos (errores) son independientes entre sí y normalmente distribuidos (Hipótesis de Gauss-Markov), lo cual es bastante conveniente porque como han señalado algunos autores, las observaciones sobre proporciones acumulativas (p, L(p)) no son ni independientes ni normalmente distribuidas . Este método de estimación robusta consta de las siguientes etapas :

Etapa 1: Se eligen puntos de la curva de Lorenz observada (tantos como parámetros tenga la curva teórica), y se obtienen estimadores iniciales a partir del llamado "método elemental de los percentiles". El método estudia que los estimadores estén siempre bien definidos, como solución única de determinadas ecuaciones. Dichas ecuaciones deberán estudiarse para cada curva de Lorenz particular.
Etapa 2: Se repite el proceso anterior con todas las combinaciones posibles de puntos de la curva de Lorenz. Si se tienen M observaciones de la curva de Lorenz (por ejemplo, para deciles se tiene M=9) y la forma funcional tiene n parámetros desconocidos, entonces se construyen los K sistemas de ecuaciones de n ecuaciones y n incógnitas, donde K es

Etapa 3: Se combinan todos los valores obtenidos de cada parámetro en la etapa anterior mediante alguna función robusta de tendencia central para obtener los valores definitivos de cada parámetro. La función robusta más comúnmente utilizada es la mediana de los K valores calculados en la etapa anterior. La mediana, a diferencia de la media aritmética, es robusta porque no es afectada por valores atípicos .

Las combinaciones de formas funcionales y métodos de estimación que se indican en la Tabla 1 se analizan a la luz de diversos criterios de bondad de ajuste, el primero de los cuales es el SEC, que no necesita mayor elaboración: minimizar la suma de los errores cuadráticos es de hecho la razón de ser del método de estimación por mínimos cuadrados. Algunos autores han sugerido utilizar un criterio de bondad de ajuste alternativo a este, argumentando que las distancias euclidianas – la suma de errores cuadrados (SEC) es una distancia euclidiana- otorgan la misma ponderación a todas las observaciones y de esta forma se pueden inferir conclusiones erróneas . En contraposición, se plantea el uso de métricas relacionadas al concepto de entropía.

De manera general, las métricas basadas en la entropía conceptúan las discrepancias entre las proporciones observadas y los valores teóricos fi como aquellas asociadas a la falta de información sobre la ocurrencia del evento i. Esto se traduce a la ponderación de dicho error por la probabilidad teórica fi, lo cual sumado a través de todo el espacio muestral da una medida del valor esperado del contenido de información asociado a dicho ajuste. Tales métricas se ofrecen entonces como particularmente útiles para el estudio del ajuste de distribuciones de ingresos debido a la naturaleza sesgada de estas últimas. En el caso especifico del ajuste de las formas funcionales, se consideran las proporciones del ingreso total acumulado en cada clase de ingresos, tanto los provenientes de las observaciones ηi como los resultantes de la forma funcional :


donde G es el número de clases de ingresos de los datos agrupados y los qi, con o sin la tilde, son respectivamente los valores L(pi) provenientes de la muestra y ajustados. Las sumatorias de ηi y son ambas iguales a 1, lo cual hace legítimo el uso de una medida de ajuste basada en la entropía como lo es la medida de inexactitud de información de Theil :

[6]

Se observa que en la medida en que los ηi y se asemejan más entre sí, el logaritmo de su cociente tiende a cero- el conocimiento de ηi proporciona poca información con respecto a la predicción y la forma funcional proporciona un buen ajuste. En caso contrario, el conocimiento de ηi si proporciona más información con respecto a su valor de predicción y se tiene en consecuencia un mal ajuste de la forma funcional. En resumen, valores de I más cercanos a cero indican que la forma funcional considerada tiene mejor ajuste . Para el estudio empírico realizado en este trabajo, se compara el ajuste de las formas funcionales ateniéndose a la medida de Theil.

Otro criterio de bondad de adherencia considerado en este estudio son las cotas del índice Gini calculadas según Gastwirth (1972) o Mehran (1975). El índice Gini calculado según la especificación completa de una forma funcional particular debería de estar en el rango delimitado por las cotas inferiores y superiores del índice Gini (GI y GS respectivamente) obtenidas a partir de la data muestral. La cota inferior GI no es otra que el índice Gini de la curva de Lorenz empírica, puesto que esta es la curva de Lorenz más igualitaria posible (curva de Lorenz superior). Como se ha dicho anteriormente, esta curva de Lorenz superior conlleva una situación donde todos los individuos en cada intervalo de ingresos perciben el mismo nivel de ingresos medio de ese intervalo. La curva de Lorenz inferior, en cambio, conlleva una situación donde una porción de los individuos en cada intervalo de ingresos perciben el menor ingreso posible y la otra porción percibe el mayor ingreso posible en ese intervalo. El procedimiento de Gastwirth requiere conocer los límites de los intervalos de ingresos Xi para construir la curva de Lorenz inferior. El procedimiento de Mehran permite obtener una aproximación bastante buena de esta curva inferior no conociendo dichos límites .
Desigualdad y Bienestar Social

Antes de exponer los resultados y las conclusiones de este estudio es preciso mencionar someramente algunos elementos teóricos que vinculan la curva de Lorenz al concepto de bienestar social asociado a una determinada distribución de ingresos. Estos elementos teóricos, que abarcan el concepto de Lorenz dominancia, los teoremas de Atkinson y el teorema de Shorrocks, son los que permitirán deducir de este estudio algunas conclusiones de relevancia socioeconómica y se enmarcan dentro de la escuela bienestarista de la economía.

La curva de Lorenz permite establecer comparaciones que son independientes de la diferencia en escala en la medida de ingresos y la diferencia en el tamaño de las poblaciones consideradas . Una distribución de ingresos es más desigual que otra cuando su curva de Lorenz yace por debajo de la curva de Lorenz de la otra, lo cual en términos matemáticos se expresa del siguiente modo:

Definición 4- Ordenamiento de Lorenz (Lorenz dominancia)
Sean X1,X2  L+, donde L+ denota la clase de todas las variables aleatorias no negativas con primer momento finito, entonces, X1 es más desigual que X2 en el sentido Lorenz, o X1LX2, si y solo si L1(p)  L2(p) para todo p[0,1], es decir: X1LX2  L1(p)  L2(p). En este caso se dice también que L2 domina a L1.

Se verifica entonces que L es un ordenamiento parcial: no todas las curvas de Lorenz son comparables en este sentido porque algunas curvas de Lorenz se cruzan en uno o más puntos. Además, L particiona las variables aleatorias de ingresos de L+ en clases de equivalencia, siendo dos variables aleatorias de ingresos equivalentes cuando una es un múltiplo constante de la otra: X1LX2  aX1L bX2 para todo a, b positivos. Se puede enunciar ahora el primero de entre tres teoremas que relacionan el ordenamiento de Lorenz con el bienestar social.

Teorema 1- Teorema de Atkinson (1970)
Sean X1,X2  L+, donde L+ denota la clase de todas las variables aleatorias continuas no negativas con primeros momentos finitos 1 y 2 respectivamente, y f1, f2 sus funciones de densidad de probabilidad, entonces, si 1=2 , L1(p)  L2(p) si y solo si U(x)f1(x)dx  U(x)f2(x)dx, donde U, denominada función de utilidad, es estrictamente creciente y estrictamente cóncava, es decir U’(x)>0 y U’’(x)>0 y para todo x positivo.

La expresión U(x)f(x)dx en este teorema representa una medida de bienestar social que depende a su vez de la frecuencia de los niveles de ingreso en una población y sus niveles de utilidad asociados. Se ha objetado que U(x)f(x)dx no representa adecuadamente el bienestar social bajo la premisa de que las funciones de utilidad obvian factores no monetarios . Sin embargo, si la expresión U(x)f(x)dx se corresponde con el bienestar social, el Teorema 1 afirma que entre dos distribuciones de ingreso con igual media, aquella cuya curva de Lorenz domina a la otra (la menos desigual) se corresponde a un bienestar social mayor. Lo anterior sigue siendo cierto aún cuando el ingreso medio de la distribución más igualitaria es mayor:

Teorema 2- Corolario del Teorema de Atkinson (1970)
Sean X1,X2  L+ como en el teorema anterior, pero con 1<2, entonces L1(p)  L2(p) si y solo si U(x)f1(x)dx  U(x)f2(x)dx .

Es oportuno comentar sobre los niveles de ingreso medio cuando se comparan dos distribuciones: ante todo, los niveles de ingreso medio deben de ser comparables. En el caso del cual se ocupa este trabajo, si se pretenden comparar las distribuciones de ingresos de tres años en un mismo país, se asume que las condiciones socioeconómicas , exceptuando la inflación, han permanecido más o menos iguales durante ese periodo como para comparar el poder adquisitivo de un nivel de ingresos efectuando solamente un ajuste inflacionario. En el caso de Venezuela, se utiliza para tal fin el Índice de Precios al Consumidor (IPC) emitido por el Banco Central todos los meses. Concretamente, se empleará el IPC correspondiente al mes de junio (mitad de año), para el año en cuestión, debido a que las encuestas de ingreso nacional se refieren a todo un año. Para el estudio empírico a realizar, todos los niveles de ingreso medio se ajustarán a Bolívares de junio del 2001.

Hasta ahora, los dos teoremas enunciados no contemplan el caso en el cual la curva de Lorenz dominada (más desigual) se corresponde a una media de ingresos mayor. Esto puede suceder cuando el aumento en la media de ingresos es lo suficientemente alto como para compensar el aumento en la desigualdad, tal como ocurrió en un estudio comparativo de los niveles de ingreso en Japón durante los años 1979 y 1999 . En estos casos, concluir que una distribución de ingresos sea peor que otra según la Lorenz dominancia puede conducir a conclusiones erróneas- es preciso comparar las distribuciones de ingreso “verdaderas” que consideren el ingreso medio. Para solucionar estos problemas Shorrocks (1983) define el concepto de curva de Lorenz generalizada :

Definición 5- Curva de Lorenz Generalizada
Sea XL+ una variable aleatoria de ingresos con media  y curva de Lorenz asociada L. Entonces, su curva de Lorenz generalizada GL viene dada por la siguiente expresión:


Esta definición permite enunciar la siguiente generalización del Teorema de Atkinson y su corolario:


Teorema 3- Teorema de Shorrocks (1983)
Sean X1,X2  L+ y f1, f2 sus funciones de densidad de probabilidad de ingresos como en los dos teoremas anteriores. Entonces U(x)f1(x)dx  U(x)f2(x)dx si y solo si GL1(p)  GL2(p) p[0,1] para toda función de utilidad U estrictamente creciente y cóncava.

El teorema de Shorrocks es una especie de último recurso: se aplica cuando dos curvas de Lorenz comparadas se cruzan o la media de la curva de Lorenz más desigual es mayor. Estos tres teoremas en conjunto deberían de ser aplicables a la mayoría de los casos de comparación- quedando excluido el caso cuando las dos curvas de Lorenz generalizadas se cruzan.

La determinación de la variación entre los dos ingresos medios de dos poblaciones a ser comparadas y la Lorenz dominancia (alternativamente dominancia Lorenz generalizada) de sus respectivas curvas de desigualdad se deberían establecer por procedimientos de contraste de hipótesis estadísticos. Existe literatura sobre los procedimientos de inferencia estadística para el ordenamiento de Lorenz, aunque muy pocos estudios empíricos los utilizan, quizás por la complejidad de aquellos . Para el caso de estudio que se contempla en este trabajo, no se hace inferencia sobre el cambio del ingreso medio poblacional ni sobre la dominancia Lorenz de dos distribuciones comparadas porque los censos de donde proviene la data del estudio carecen de información sobre la variabilidad.

Resultados

Tabla 2- Suma de errores cuadráticos y medida de Theil

Forma 1995 1997 2001
Funcional (Abrev.) SEC Theil SEC Theil SEC Theil
CG-MCL CG 4,93E-06 9,48E-05 6,89E-06 1,25E-04 1,01E-05 1,37E-04
Beta-MCL Beta 6,93E-06 4,44E-05 1,46E-05 1,30E-04 3,20E-05 2,51E-04
Rasche-MCNL Ra-MC 1,90E-06 1,72E-05 1,16E-05 5,82E-05 4,31E-05 2,17E-04
Rasche-ER Ra-ER 3,78E-06 1,79E-05 2,68E-05 8,77E-05 1,16E-04 3,63E-04
Ortega-MCNL Or-MC 3,42E-05 1,98E-04 6,55E-05 3,41E-04 1,14E-04 5,98E-04
Ortega-ER Or-ER 7,43E-05 2,70E-04 1,75E-04 5,72E-04 3,05E-04 1,00E-03
Sarabia-MCNL Sarab 9,38E-07 1,06E-05 8,55E-07 8,31E-06 2,62E-07 3,03E-06
Chotipakanich-ER Chot 1,15E-02 2,52E-02 9,93E-03 2,14E-02 4,64E-03 1,30E-02
Pareto Pareto 1,25E-02 2,31E-02 1,49E-02 2,72E-02 1,75E-02 3,01E-02

Tabla 3 - Formas funcionales ordenadas según bondad de ajuste
Este cuadro evalúa las distintas formas funcionales de mejor (1er lugar) a peor (9no lugar), para cada año y según dos criterios de bondad de ajuste (Theil y SEC).

1995 1997 2001
Lugar SEC Theil SEC Theil SEC Theil
1 Sarab Sarab Sarab Sarab Sarab Sarab
2 Ra-MC Ra-MC CG Ra-MC CG CG
3 Ra-ER Ra-ER Ra-MC Ra-ER Beta Ra-MC
4 CG Beta Beta CG Ra-MC Beta
5 Beta CG Ra-ER Beta Or-MC Ra-ER
6 Or-MC Or-MC Or-MC Or-MC Ra-ER Or-MC
7 Or-ER Or-ER Or-ER Or-ER Or-ER Or-ER
8 Chot Pareto Chot Chot Chot Chot
9 Pareto Chot Pareto Pareto Pareto Pareto

Tabla 4 - Estimación de coeficientes de Gini según distintas formas funcionales
Coeficiente de Gini 1995 1997 2001
Cota mínima 0,445028584378152 0,445946528908580 0,423669983116927
Cota máxima 0,460128437843293 0,460267227576097 0,435954394137638
CG-MCL CG 0,458286672272086 0,457924690247185 0,433204692230452
Beta-MCL Beta 0,459182935924780 0,459273157984334 0,434725447647895
Rasche-MCNL Ra-MC 0,458487202545457 0,459209320062479 0,435657753159552
Rasche-ER Ra-ER 0,458175387114434 0,458798156072146 0,437416240790823
Ortega-MCNL Or-MC 0,460358634855596 0,461064109919736 0,437177978729261
Ortega-ER Or-ER 0,459868696734277 0,462036613454816 0,439525773723544
Sarabia-MCNL Sarab 0,457936453772116 0,457838598022762 0,433379963469044
Chotipakanich-ER Chot 0,421617010535814 0,427657246566757 0,415258397390279
Pareto Pareto 0,414512611734639 0,410800003309221 0,381270490384944

Las cotas mínimas y máximas del índice de Gini fueron calculadas en base a los puntos (pi,qi) de la curva de Lorenz empírica y de la curva de Lorenz inferior a esta derivada del procedimiento de Mehran respectivamente.
Figura 3 - Curvas de Lorenz- ajuste a forma funcional de Sarabia para 1995, 1997 y 2001

Figura 4 - Curvas de Lorenz Generalizadas (según ajuste a forma funcional de Sarabia) para 1995, 1997 y 2001


Interpretación de los Resultados y Conclusiones

En cuanto al ajuste de las formas funcionales a la data venezolana para los años 1995, 1997 y 2001, se puede afirmar que la forma funcional de Sarabia produjo los mejores ajustes para estos tres años, tomando en cuenta la suma de los errores cuadráticos y la medida de Theil. En general, esta forma funcional se ajustó mejor a la data en todos los deciles. Observando el cuadro resumen en la Tabla 3, se puede constatar que en general, las formas funcionales estimadas por el método de los mínimos cuadrados no lineales producen mejor ajuste que sus contrapartes estimadas por medio de métodos robustos. Además, como era de esperarse, las formas funcionales de un solo parámetro produjeron peores ajustes que las de dos o más parámetros, aunque no es claro que una función produzca mejores ajustes en la medida que tenga más parámetros: la forma funcional de Rasche se ajusto mejor a la data empírica, en algunos casos, que las formas funcionales Cuadrática General y Beta Generalizada, ambas de tres parámetros. Por último, se observa que las formas funcionales de un solo parámetro – la de Pareto y la de Chotikapanich – tienen un coeficiente de Gini asociado fuera de las cotas mínimas y máximas calculadas según el procedimiento de Mehran (ver Tabla 4).

A fin de estudiar un poco más a fondo las particularidades en el ajuste de las distintas formas funcionales a la data, se ha elaborado la Tabla 5, donde se indica, para cada decil (nivel de p), si la correspondiente estimación de L(p) por una forma funcional especifica y para la data de un año en particular está por debajo (-), por encima (+), o es igual (0) al valor real de L(p).


Tabla 5 - Sesgo de las estimaciones por decil, año y forma funcional

Decíl CG-MCL Beta-MCL Rasche-MCNL Rasche-ER Ortega-MCNL Ortega-ER Sarabia-MCNL Chot.-ER Pareto-MCL
1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1 1
9
9
5 1
9
9
7 2
0
0
1
1 + + + + + + - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + +
2 + + + - + + - - - - + - - - - - - - - + + - + - + + +
3 - - - - - - - - - + + - - - - + + + + - - - - - + + +
4 - - - - - - + - - + + + + - - + + + + - - - - - + + +
5 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - - - - + + +
6 + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + 0 + - + + +
7 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + +
8 + + + + + + - - - - - - - - + - - - - - - + + + - - -
9 - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + - + + + - - -

El cuadro anterior evidencia ciertos rasgos generales que llaman la atención:
a) las formas funcionales cuadráticas y beta generalizada tienen un patrón casi idéntico de sesgo independiente del año estudiado: estiman por encima a la curva de Lorenz en los deciles 1,2,6-8 y por debajo en los deciles 3-5 y 9.
b) Las formas funcionales de Rasche y de Ortega obtenidas por el método de los mínimos cuadrados no lineales tienen un patrón de sesgo casi idéntico: infraestimación en los deciles 1-4 y 8-9 y sobreestimación en los deciles 5-7.
c) No se observa un patrón constante de sesgo en el ajuste de la forma funcional de Sarabia, lo cual indica que esta es más “flexible” que las otras y por eso produce mejor ajuste.
d) La forma funcional de Pareto estima por encima los primeros 8 deciles y estima por debajo los últimos 2 deciles.

Sobre los patrones en el sesgo de la forma funcional de Pareto se podría ofrecer la siguiente interpretación: si la distribución de ingresos en Venezuela fuese más “Paretiana”, sería más igualitaria. De hecho, para la data venezolana, la forma funcional de Pareto arrojó consistentemente los índices de Gini más bajos. Esta observación se puede reformular en otros términos si se interpreta intuitivamente lo que significa una distribución Paretiana.

En un interesante estudio por dos investigadores franceses , Bouchaud y Mézard, en el cual se estudia una eventual redistribución de los ingresos en una sociedad prescindiendo de los supuestos de racionalidad de los agentes económicos y suponiendo que los retornos sobre las inversiones son aleatorios, se estudiaron por medio de simulaciones las distribuciones de riqueza eventuales bajo distintos parámetros de movilidad de la riqueza, es decir, cuan libremente se realiza el movimiento del dinero en una sociedad. Cuando las transacciones comerciales se realizan libremente y la volatilidad de las inversiones es baja, el dinero fluye fácilmente entre las personas, pero debido a que los retornos sobre las inversiones son proporcionales a la cantidad de capital invertido, los ricos tienden a ganar o perder más dinero que los pobres, por lo cual la mayor parte de la riqueza termina cayendo en manos de porciones menos numerosas de individuos- se verifica entonces la ley de Pareto de forma universal.

Dicha situación podría mejorar si se redistribuyen los impuestos de una forma más equitativa a través de la población, o si se incentiva un comercio más libre y justo. En caso contrario, cuando por ejemplo existen más restricciones al comercio, cuando no hay libre competencia, cuando la redistribución de los impuestos no redunda en el bienestar de las clases más pobres sino de una pequeña elite de ricos y “amigos del gobierno” que acaparan los contratos gubernamentales, y cuando la volatilidad de las inversiones es mayor, lo cual va de la mano con márgenes de ganancia excesivos, la economía sale de la fase paretiana y entra en una fase peor, donde la riqueza se distribuye aún más desigualmente y termina en manos de una decena o centena de individuos muy ricos. Se observa que para la data venezolana estudiada, los ajustes a la forma funcional de Pareto son progresivamente peores, lo cual pareciera indicar una tendencia hacia una distribución de ingresos menos paretiana, aunque inferir de ahí que la distribución Venezolana tiende progresivamente hacia la fase opuesta a la de Pareto y menos favorable, en el sentido en que lo establecen los investigadores citados, constituiría un juicio de valor. Surge también la siguiente inquietud: ¿Será el sesgo del ajuste por medio de la forma funcional de Pareto una receta o un indicador de la redistribución de ingresos que tendría que hacerse para disminuir la desigualdad y aumentar el bienestar social de la forma más eficaz?

Por los momentos, las interrogantes que ocupan este análisis de los resultados son las referentes al aumento o disminución de la desigualdad en Venezuela y a la forma en que ha evolucionado el bienestar social durante el periodo estudiado. A fin de dilucidar la primera de estas interrogantes, se incluye a continuación un cuadro con los valores de la forma funcional ajustada de Sarabia para 1995, 1997 y 2001 en distintos deciles. Este cuadro se ha de consultar conjuntamente con la Figura 3 a fin de apreciarla mejor y poder establecer las comparaciones.


Tabla 6 - Valores de L(p) según los ajustes a la forma funcional de Sarabia

p L1995(p) L1997(p) L2001(p)
0,1 0,016866017925080 0,015956150885774 0,017113020253108
0,2 0,047399243901389 0,045558630724163 0,048502580209963
0,3 0,088340407532822 0,085792139383889 0,090963978398314
0,4 0,139549236004214 0,136637527314861 0,144469541154824
0,5 0,201960515004054 0,199156567614116 0,210108999185027
0,6 0,277579483859702 0,275516102665420 0,290087460340229
0,7 0,370108032716857 0,369643979963771 0,388345145495966
0,8 0,486866329088608 0,489193816736890 0,512390307622419
0,9 0,646171948076557 0,652923710799685 0,679921635986654

Comenzando por la comparación de las distribuciones de ingresos en Venezuela en 1995 y 1997, se puede observar que en los primeros 7 deciles, la distribución de ingresos en 1995 es más igualitaria que la de 1997, invirtiéndose esta relación para los deciles 8 y 9. Esto implica que las dos curvas de Lorenz se cruzan en algún valor de p entre 0,7 y 0,8- por lo tanto, no se puede establecer claramente la relación de Lorenz dominancia entre estas dos distribuciones. Sin embargo, observando las cotas inferiores y superiores para el coeficiente de Gini en la Tabla 4, se puede establecer que la desigualdad aumentó ligeramente en 1997 con respecto a 1995. La estimación del coeficiente de Gini por medio de la mayoría de las formas funcionales registró esta tendencia al aumento de la desigualdad, pero los valores estimados según las formas funcionales de Sarabia y la Cuadrática Generalizada indican lo contrario: que la desigualdad disminuyó ligeramente en 1997. Paradójicamente estas dos formas funcionales están entre las que produjeron un mejor ajuste, lo cual suscita dudas en cuanto a establecer el aumento o la disminución de la desigualdad entre dos periodos basándose exclusivamente en la estimación del coeficiente de Gini de la forma funcional con mejor ajuste. No obstante, se podría afirmar que hubo una redistribución de ingresos ligeramente desfavorable hacia los sectores más pobres de la población (deciles 1 a 7). La comparación de la desigualdad en el año 2001 con respecto a las distribuciones de 1995 y 1997 es bastante sencilla: hubo una disminución de la desigualdad en 2001 neta con respecto a los otros dos años según se puede observar en la Figura 3 y la Tabla 6.

Hubo una disminución bastante notable del ingreso medio en 1997 con respecto a 1995, aun cuando no hubo una variación clara en la desigualdad. Entre 1997 y 2001, hubo una disminución en la desigualdad a la par de una relación de Lorenz dominancia del 2001 con respecto a 1997 y una recuperación de los niveles de ingreso medio- el teorema de Atkinson (más bien su corolario) establece claramente entonces que hubo un aumento en el bienestar social para el año 2001.

¿Esta conclusión se hace extensiva a la comparación entre 2001 y 1995? El teorema de Atkinson o su corolario no son conclusivos al respecto, pues aun cuando disminuyo la desigualdad claramente en el 2001 con respecto a 1995, el ingreso medio en 1995 era bastante mayor en ese año que en los años subsecuentes. Es preciso por lo tanto comparar las curvas de Lorenz generalizadas para estos tres años. Una revisión de la Figura 4 termina de aclarar el panorama: la curva de Lorenz generalizada para 1997 es dominada por las otras dos, de donde se concluye que la distribución de ingresos en 1997 es la menos favorable desde el punto de vista bienestarista que la de los otros dos años. La comparación entre 1995 y 2001 sigue inconclusa: las dos curvas de Lorenz generalizadas se intersectan.

Pudiese elaborarse sobre lo observado en el año 1997 con la concurrencia de otras variables. A modo de especulación, el alza de los intereses, la dinámica de la fuerza laboral, la tendencia a baja de los precios del petróleo y la implosión del modelo de apertura petrolera que tuvo lugar en esos meses son factores que pueden estar relacionados con la disminución del bienestar social venezolano en ese año. En todo caso, se puede establecer que los sectores de la población en los siete deciles inferiores fueron los más perjudicados por lo sucedido entre 1995 y 1997.

Desafortunadamente, no se tuvieron a la mano datos sobre los ingresos en Venezuela para años posteriores al 2001. Habiendo entrado en vigencia a partir de entonces un modelo económico distinto en Venezuela, se debe proceder con cautela en cuanto a establecer comparaciones de desigualdad y de bienestar, pues dichas comparaciones se fundamentan en la perspectiva netamente monetaria de la utilidad y el bienestar social. Como es bien sabido, se han implementado en Venezuela programas sociales- las denominadas misiones- cuya incidencia favorable o desfavorable sobre el bienestar y la utilidad social no se puede determinar por medio de un estudio como el realizado en este trabajo, pues conllevan factores extra-monetarios. Aún en este caso, la metodología expuesta en este trabajo permite evaluar estas misiones si se redefine adecuadamente lo que constituye la “utilidad” de cada individuo (el equivalente al ingreso monetario individual) en el caso de la salud, la educación y la alimentación.

Bibliografía


Abdalla, I. y Hassan, M. (2004). Maximum Likelihood Estimation of Lorenz Curves using Alternative Parametric Model [Documento en línea]. Metodološki zvezki, 1(1), 109-118. Disponible en http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/abdalla.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Arnold, B. C. (2005). The Lorenz Curve- Evergreen after 100 years [Documento en línea]. Disponible en www.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Arnold. pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Bandyopadhyay, S., Cowell, F. y Flachaire, E. (2005). Inequality Measurement and Goodness of Fit [Documento en línea]. Disponible en http://www.core.ucl.ac.be/ archives/CORE.ETRICSfiles/2005-6/bandyopadhyay.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Buchanan, M. (2000). That’s the Way the Money Goes [Documento en línea]. New Scientist, 167(2252), 22-29. Disponible en http://pages.britishlibrary.net/blwww3/ 3way/markbuchanan19-08-00.htm [Consulta: 2006, septiembre 25].

Callejón, J., Herrerias, R. (2002) Capítulo 1-Los Sistemas de Pearson Como Generadores de Distribuciones de Probabilidad. Aplicaciones Estadísticas y Económicas. En R. Herrerías Pleguezuelo (Comp.), Modelos de Generación de Distribuciones- Propiedades y Aplicaciones (pp. 9-17) [Libro en línea]. Granada, España: Universidad de Granada. Disponible en http://www.ugr.es/~callejon/ISeminario.htm [Consulta: 2006, septiembre 25].

Callejón, J., Herrerias, R. y Palacios, F. (2002). Capítulo 2-Las Curvas de Lorenz y el Sistema de Pearson. En R. Herrerías Pleguezuelo (Comp.), Modelos de Generación de Distribuciones- Propiedades y Aplicaciones (pp. 19-35) [Libro en línea]. Granada, España: Universidad de Granada. Disponible en http://www.ugr.es/~callejon/ISeminario.htm [Consulta: 2006, septiembre 25].

Cheong, K. S. (1999). An Empirical Comparison of Alternative Functional Forms for the Lorenz Curve [Documento en línea]. Working Paper Nº 99-2R. Manoa, HW: University of Hawaii. Disponible en http://www.economics.hawaii.edu/research/ workingpapers/ 992.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Chotikapanich, D. y Griffiths, W. (1999). Estimating Lorenz Curves Using a Dirichlet Distribution [Documento en línea]. Working Papers in Econometrics and Applied Statistics, 110. Armidale, Australia: University of New England. Disponible en http://fmwww.bc.edu/ RePEc/es2000/1215.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

CISOR. Estadísticas del Ingreso de los Hogares en Venezuela [Datos en línea]. Disponible en http://omega.manapro.com/editorpobreza/index.asp?spg_id=24 [Consulta: 2006, septiembre 25].

Datt, G. (1998). Computational Tools For Poverty Measurement And Analysis [Documento en línea]. Food Consumption and Nutrition Division. Disponible en http://www.ifpri.cgiar.org/divs/fcnd/dp/dp50.htm [Consulta: 2006, septiembre 25].

García, R. y Herrerias, J.M. (2002) Capítulo 4-Inclusión de Curvas de Lorenz en las Funciones Generadoras. En R. Herrerías Pleguezuelo (Comp.), Modelos de Generación de Distribuciones- Propiedades y Aplicaciones (pp. 79-85) [Libro en línea]. Granada, España: Universidad de Granada. Disponible en http://www.ugr.es/~callejon/ISeminario.htm [Consulta: 2006, septiembre 25].

Gastwirth, J. (1971). A General Definition of the Lorenz Curve. Econometrica, 39(6), pp. 1037-1039.

Hassan, M. Y. An income inequality measure based on the symmetric properties of both the income distribution and the Lorenz curve [Documento en línea]. UAE University. Disponible en http://www.unisi.it/eventi/GiniLorenz05/25%20may%20paper/PAPER_Hassan.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Kleiber, C. (2005). The Lorenz curve in economics and econometrics [Documento en línea]. Disponible en http://www.sfb475.uni-dortmund.de/berichte/tr30-05.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Mamczur, J. A. (1997). LSM – Least Squares Method [Programa de Computación en línea]. Disponible: http://www.prz.rzeszow.pl/~janand/ [Consulta: 2006: Septiembre 25]

Mitnik, O. (1999). Notas Docentes sobre Distribución del Ingreso y Pobreza [Documento en línea]. Georgetown University. Disponible en http://www.economia.uahurtado.cl/pdf/ publicaciones/docente-8.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Morales, A. (1991). Estimación de Indices de Desigualdad y Pobreza a través del Ajuste Econométrico de las Curvas de Lorenz, Seminario Interdisciplinar sobre Problemas Regionales y Urbanos [Documento en línea]. Universidad de Malaga. Disponible en http://webpersonal.uma.es/~afdez/ajuste.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Morimune, K. y Murasawa, Y. (2002). Statistical Inference for Generalized Lorenz Dominance Based on Grouped Data: A Reconsideration [Documento en línea]. Disponible en www.eco.osakafu-u.ac.jp/~murasawa/01a.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Pascual, M. (2004). Modelización Estocástica de Distribuciones de Renta a Partir de Familias Paramétricas [Documento en línea]. Tesis Doctoral, Universidad de Cantabria, España. Disponible en http://www.ief.es/Publicaciones/Investigaciones/Inves2004_05.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Peña, D. (2002). Análisis de Datos Multivariantes. Madrid: McGraw-Hill/Interamericana de España.

Riutort, M. Pobreza, Desigualdad y Crecimiento Económico en Venezuela [Documento en línea]. Disponible en http://www.ucab.edu.ve/ucabnuevo/cdcht/recursos/ T_Pobreza_Matias_Riutort.zip [Consulta: 2006, septiembre 25].

Schneider, M. (2000). Measuring Inequality: The Origins of the Lorenz Curve and the Gini Index [Documento en línea]. La Trobe University, Australia. Disponible en http://www.latrobe.edu.au/business/assets/downloads/disc_papers/A04-01.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Tarsitano, A. (1988). Estimating the Income Shares of a Grouped Frequency Distribution of Incomes [Documento en línea]. Statistica applicata, 21(3), 307-319. Disponible en http://www.ecostat.unical.it/Tarsitano/Publications/Textpubs/ incoshr.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].

Xu, K. (2004). How has the Literature on Gini’s Index Evolved in the Past 80 years? [Documento en línea]. Halifax, Canada: Dalhousie University. Disponible en http://economics.dal.ca/RePEc/dal/wparch/howgini.pdf [Consulta: 2006, septiembre 25].