Metodología de corte transversal con medias

La metodología de corte transversal con medias fue utilizada por Miller y Scholes en su trabajo de 1972. De la misma manera que en el contraste presentado en el apartado anterior, el procedimiento requiere de dos etapas:

  • Periodo de estimación: A partir de las observaciones del periodo de contraste del modelo, se calculan las estimaciones de las betas de los títulos43.

  • Periodo de contraste: Se plantea una regresión explicando las rentabilidades medias de los títulos mediante el riesgo sistemático en el periodo considerado.

    • El modelo empírico de corte transversal para el periodo de contraste, planteado en rentabilidades44 y expresado en forma matricial, es:

    [27]

    donde:
    r - Vector columna que contiene los promedios de rentabilidad de los g títulos a lo largo del periodo de tiempo considerado.
    g Término independiente de la relación establecida en el modelo empírico.
    d Pendiente de la relación establecida en el modelo empírico.
    b Vector columna que contiene las estimaciones de las betas de los g títulos a lo largo del periodo de tiempo considerado.
    w Vector que contiene las perturbaciones aleatorias de los g títulos del modelo empírico.

    Como se puede apreciar, el modelo [27] introduce como variable explicativa las estimaciones de las betas obtenidas a partir del periodo de contraste del modelo. Ello, además de obligar a considerar la hipótesis de expectativas de riesgo constantes si se utiliza el Modelo de Mercado, introduce, nuevamente, un problema de regresores estocásticos por errores de observación en la variable explicativa b, que, además, se encuentra relacionada con las perturbaciones aleatorias del modelo w45.

    Expresando [27] en forma convencional, tenemos que:

    [28]

    donde:
    X Matriz que contiene a las variables explicativas formada por dos vectores columna [1g; b].

    Vector columna que contiene los parámetros g y d.

    La correcta definición estadística del modelo exige, además, la especificación de las hipótesis de comportamiento de los términos aleatorios del modelo [27]46. En cuanto a las perturbaciones aleatorias tenemos que:

    [29]

    donde:
    ww La matriz g•g de varianzas y covarianzas contemporáneas de las perturbaciones aleatorias, donde el elemento general de la misma es sij. Es cuadrada, simétrica y definida positiva.

    De nuevo nos encontramos con una matriz de varianzas y covarianzas no escalar, debido a la presencia de perturbaciones heteroscedásticas y autocorrelacionadas, justificables por las mismas razones que en el apartado anterior47.

    Por otro lado, la variable explicativa y las perturbaciones aleatorias no son independientes, lo que equivale a señalar que la matriz de covarianzas entre ambos vectores de variables es distinta de la matriz de ceros (puede verse la expresión [18]).

    Si el CAPM es cierto, en el modelo [27] debe suceder que:

    [30]48

    Los modelos de corte transversal, tanto el analizado en este apartado como el estudiado en el anterior, tienen una característica especial que, en el caso que nos ocupa, se torna en dificultad adicional de cara a la estimación del mismo. Efectivamente, se puede demostrar que las pendientes teóricas resultan ser aleatorias, ya que dependen de la rentabilidad de la cartera de mercado rm49 en el momento t, para el caso del modelo analizado en el apartado anterior, y del promedio de rentabilidad de dicha cartera, en el caso del modelo [27]. Esa nueva fuente de aleatoriedad debe ser tenida en cuenta en la varianza del estimador del premio, considerando la variabilidad de la rentabilidad del mercado a lo largo del periodo de contraste analizado. En cualquier caso, la metodología descrita en el apartado anterior resuelve implícitamente la cuestión, ya que, una vez estimados los coeficientes del modelo [15] para cada momento t, se obtiene, como ya indicamos, una estimación conjunta para el periodo de contraste del CAPM. Así, si el procedimiento de cálculo de la varianza del estimador para el periodo en su conjunto se realiza, bien al estilo de Fama y MacBeth (1973), es decir, a partir de las series históricas de estimadores para cada momento t, o bien a partir del método de MCP señalado en el apartado anterior (que también tiene en cuenta la serie histórica, aunque con las correspondientes ponderaciones), el efecto de la rentabilidad del mercado recogida en cada estimación de t y, por tanto, el efecto de la variabilidad del mercado, ya es considerado al calcular la varianza del estimador conjunto50. Esta cuestión es conocida en la literatura financiera como problema de los coeficientes aleatorios y fue señalado por Black, Jensen y Scholes (1972). En cualquier caso, las consecuencias del problema son especialmente importantes en la metodología de contraste que nos ocupa, como señalaremos acontinuación51.

    Desde el trabajo de Miller y Scholes (1972) han sido bastantes las soluciones ofrecidas de cara a la estimación y, en definitiva, contrastación del CAPM. En primer lugar, los métodos habituales de estimación de [27], como son MCO y MCG, no ofrecen estimadores que garantizan las propiedades adecuadas. Es interesante señalar que, en este caso, ni siquiera suponiendo que las betas sean estimadas con poco error (algo que, como hemos señalado con anterioridad, no garantiza el Modelo de Mercado que, por otra parte, es el método habitual de cara a obtener el riesgo sistemático de los títulos), MCG garantiza que los estimadores de [27] consideren todos los problemas, ya que, además, debería tenerse en cuenta el efecto de los coeficientes aleatorios52.

    Otras posibilidades, como MV, en una versión similar a la planteada por Litzenberger y Ramaswamy (1979)53, también fue utilizada por Bergés (1984), aunque no se puede negar la existencia de problemas. Idéntica base y dificultad54 tienen las planteadas por Madariaga (1994), cuyos resultados pueden verse en Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez (1994).

    Una alternativa que posibilita la realización del contraste teniendo en cuenta el problema de los errores de estimación en las betas y el de los coeficientes aleatorios (además de heteroscedasticidad y autocorrelación), garantizando la propiedad de consistencia en n, consiste en utilizar el estimador MCG y calcular la estimación de la matriz de varianzas y covarianzas a partir de una expresión corregida (véase Shanken, 1992).

    Así, los estimadores de los parámetros por el método de MCG55 para el modelo [28] son:

    [31]

    donde:
    S La estimación de la matriz g•g de varianzas y covarianzas contemporáneas de las perturbaciones aleatorias corregidas por los grados de libertad, donde el elemento general de la misma es sij, y que es calculada a partir de los residuos obtenidos mediante los Modelos de Mercado estimados en la primera etapa o periodo de estimación. Es cuadrada, simétrica y definida positiva. En cualquier caso, obsérvese cómo en la expresión [31] aparece la matriz de varianzas y covarianzas de los residuos medios, ya que el modelo empírico está expresado en promedios para un periodo considerado.

    La matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores [31] viene dada por:

    [32]

    donde:
    d Estimación del premio por riesgo obtenida mediante la aplicación de la expresión [31].
    sm 2 Estimador consistente de la varianza de la rentabilidad de la cartera de mercado. Concretamente, en la expresión [32] el cociente entre el cuadrado del premio estimado y la varianza de la rentabilidad del mercado aparece debido a los errores de estimación en las betas y, a la varianza del coeficiente angular, se le suma el efecto de la variabilidad media del mercado para considerar el problema de los coeficientes aleatorios56.

    Una interesante posibilidad consiste en el planteamiento de un test multivariante en el contexto de los contrastes de corte transversal que comentaremos brevemente. La idea del mismo se basa en que, si el CAPM es cierto, los residuos derivados de la estimación del modelo [28], mediante la aplicación del estimador de Shanken (1982) expresado en [25], deben ser cero57. Evidentemente, los resultados obtenidos a partir de una muestra concreta no tienen por qué anularse, por lo que se debe comprobar si son, efectivamente, pequeños. Ello se realiza creando una variable a partir del vector de residuos, la suma de cuadrados residual, y planteando como hipótesis nula la igualdad de la misma a cero.

    El estadístico utilizado para la realización del contraste, sugerido por Shanken (1985), es:

    [33]

    donde:
    n Número de momentos considerados para el contraste del modelo.
    e Vector columna de residuos del modelo de corte transversal con medias.
    S Estimación de la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones aleatorias corregida por los grados de libertad y calculada a partir de los residuos obtenidos mediante los Modelos de Mercado estimados en la primera etapa, o periodo de estimación.
    d Estimador consistente del premio por riesgo. Se calcula, como ya hemos indicado, utilizando el propuesto por Shanken (1982) aplicado al contraste de corte transversal con medias (véase la expresión [25]). Para su cálculo debe tenerse en cuenta las especificidades de la metodología que nos ocupa, es decir, coincidencia de los periodos de estimación y de contraste del modelo que, además, se realiza en base a los promedios de rentabilidad de los activos. Por ello, en [25] debe sustituirse el vector de rentabilidades por el vector de los promedios para el periodo considerado.

    Shanken (1985) muestra que el estadístico Q sigue aproximadamente la T de Hotelling [T2(g-2, n-2)]58. Por otra parte, si no se considera el ajuste por los errores de estimación en las betas que aparece en el denominador, el estadístico sigue la T de Hotelling acotada por arriba por T2(g-2, n- 2), de tal manera que, si realizada la prueba se rechaza la hipótesis nula, la conclusión no puede ser considerada como resultado para muestras pequeñas. Para realizar la prueba hay que tener en cuenta la relación existente entre la T de Hotelling y la F de Fisher, que expresada para nuestro caso es:

    [34]

    Así, la prueba se realiza mediante la relación expresada en [34] y puede demostrarse que si se acepta la hipótesis nula el resultado obtenido es exacto. En caso contrario, es posible obtener una cota por abajo a la distribución exacta de Q, que ayuda a realizar las inferencias en el caso de muestras pequeñas (véase Shanken, 1986). Esta cota inferior hace que se pueda rechazar la hipótesis nula sin necesidad de apelar a procedimientos asintóticos.

    La cota por abajo, que se basa en estimaciones del término independiente y coeficiente angular por el método de MV59, es:

    [35]

    donde:
    gMV Estimador MV del término independiente.
    dMV Estimador MV del coeficiente angular.

    La prueba se puede realizar teniendo en cuenta que en términos de F:

    [36]60

    43 Aquí tenemos una primera diferencia respecto de la metodología de corte transversal sin medias. En esta ocasión, las betas se estiman a partir de la información del periodo en el que se contrasta el CAPM, mientras que en el caso anterior las estimaciones se basaban en datos previos.

    44 También puede realizarse el planteamiento en excesos sobre el tipo sin riesgo. Posteriormente señalaremos las diferencias de cara a la contrastación del CAPM.

    45 Nos remitimos al planteamiento del modelo empírico de corte transversal sin medias analizado en el apartado anterior, donde se estudiaron las características fundamentales de las perturbaciones aleatorias, que, prácticamente, pueden extenderse al modelo que nos ocupa. Nos centraremos en esta ocasión en las características diferenciales del contraste que ahora se analiza.

    46 Además, por supuesto, de las habituales hipótesis estructurales de linealidad y estructura única.

    47 Recordemos que la heteroscedasticidad constituye un problema inevitable debido al diferente riesgo específico de los títulos, mientras que la autocorrelación está supeditada a la existencia de relaciones cruzadas entre los ismos.

    48 En el caso de realizarse el planteamiento del modelo empírico [27] en excesos sobre el tipo sin riesgo, el término independiente debe anularse y se mantiene la condición sobre el coeficiente angular, es decir, debe coincidir con el premio por riesgo promedio del periodo de contraste. En cualquier caso, debe recordarse de nuevo que la utilización de una aproximación a la verdadera cartera de mercado hace que dichas condiciones no tengan por qué cumplirse. Así, se puede comprobar la existencia de un premio por riesgo significativo, aceptando cualquier valor para el término independiente, lo que equivale a aceptar la versión de Black (1972) del CAPM.

    49 Que puede obtenerse, como ya hemos comentado, a partir de las rentabilidades de los títulos utilizados en la contrastación del modelo, o de un índice.

    50 Obsérvese que el cálculo de la varianza del estimador conjunto como combinación lineal de las varianzas de los estimadores para cada momento t no resuelve el problema.

    51 Otra forma de entender el problema de los coeficientes aleatorios es observando que el CAPM, como puede verse en la expresión [1], plantea una restricción sobre las esperanzas de las rentabilidades. En cambio, el análisis empírico obliga a utilizar una aproximación a la rentabilidad de mercado rm que es aleatoria, por lo que los resultados quedan condicionados a dichos valores. Ello obliga a considerar la restricción equivalente a [1] sobre los rendimientos esperados condicionales y este proceso lleva a que las pendientes de los modelos empíricos de corte transversal resulten aleatorias, al ser función de la rentabilidad del mercado.

    52 Debe tenerse presente que los programas de ordenador utilizan las fórmulas habituales que pueden encontrarse en Johnston (1984) y éstas requerirían de la inclusión de un factor corrector que afectase a la variabilidad de la estimación de la pendiente por efecto de la varianza del mercado.

    53 Que aborda los problemas de errores en las variables y heteroscedasticidad de las perturbaciones aleatorias, bajo el supuesto de inexistencia de relaciones cruzadas.

    54 Son soluciones parciales a los problemas del modelo, ya que no consideran la existencia de relaciones cruzadas entre las perturbaciones aleatorias y, además, no abordan la problemática introducida por los coeficientes aleatorios.

    55 Puede verse Johnston (1984).

    56 Se puede apreciar claramente cómo, no tener en cuenta los problemas, exagera la significación de los coeficientes, ya que la precisión de la estimación parece mayor si no se suman los términos correspondientes.

    57 Ello sería indicio de que la relación entre rentabilidad y riesgo es lineal y además la beta es la única medida del riesgo. Estas condiciones han sido comprobadas profusamente en la literatura financiera, así Fama y MacBeth (1973) lo comprueban mediante la introducción de otras variables explicativas en el modelo empírico: riesgo sistemático elevado al cuadrado (para comprobar la linealidad del modelo) y riesgo específico (para testar la existencia de un único riesgo beta retribuido por el mercado). En el caso español, Santibáñez (1994) realiza un análisis similar, cuyos resultados fundamentales pueden encontrarse en Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez (1994). La principal ventaja del contexto multivariante consiste en que no resulta necesario especificar ninguna hipótesis alternativa para contrastar el CAPM, con lo que supera los contrastes clásicos señalados anteriormente. Téngase en cuenta que los trabajos clásicos únicamente prueban algunas variables adicionales, y lo mismo sucede con otros más modernos que, en el contexto de los denominados modelos multifactoriales, tratan de comprobar la influencia de variables fundamentales en las rentabilidades de los títulos. En este sentido son interesantes los trabajos de Chan, Hamao y Lakonishok (1991), Fama y French (1992, 1993a y 1993b) y Kothari, Shanken y Sloan (1992), así como nuestro trabajo, cuyo resumen puede encontrarse en Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez (1994).

    58 El ajuste que aparece en el denominador del cociente [33] es debido a los errores de estimación en las betas.

    59 Para ello, se obtiene en primer lugar una estimación del término independiente, partiendo de una regresión por MCG en la que se cruza la ordenada en el origen estimada en el Modelo de Mercado en función de uno menos la beta estimada. El estimador del premio se obtendrá como diferencia entre el promedio de rentabilidad del mercado y la estimación del término independiente obtenida. A partir de estos resultados se obtienen las estimaciones máximo verosímiles resolviendo una función cuadrática (véase Shanken, 1986).

    60 Los grados de libertad no coinciden, puesto que resulta más sencillo trabajar con la especificación de Black, Jensen y Scholes (1972), como ya hemos indicado en la nota anterior (véase Shanken, 1986).