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Metodología de corte transversal sin medias
La metodología de corte transversal sin medias fue utilizada por Fama y MacBeth en su influyente trabajo de 1973. En esta ocasión, el contraste se basa en datos de corte transversal y consta de dos etapas:
Periodo de estimación: A partir de observaciones anteriores al momento t de contraste del modelo, se obtienen las estimaciones del riesgo sistemático de los títulos mediante el Modelo de Mercado15.
Periodo de contraste: Se plantea una regresión para cada momento t que configura el periodo en su conjunto (t = 1, 2, ..., n)16, explicando las rentabilidades de los g títulos mediante el riesgo sistemático estimado en la etapa anterior.
Suponiendo g activos, el modelo empírico planteado en rentabilidades17 para cada momento de tiempo t, y expresado en forma matricial, es:
donde:
[15]
rt Vector columna que contiene las rentabilidades de los g títulos en el momento de tiempo t.
g t Término independiente de la relación establecida en el modelo empírico.
1g Vector columna que contiene g unos.
dt Pendiente de la relación establecida en el modelo empírico.
bt Vector columna que contiene las estimaciones de las expectativas de los riesgos sistemáticos de los g títulos en el momento t.
wt Vector que contiene las perturbaciones aleatorias de los g títulos en el momento t.Es importante observar que en la ecuación [15] está implícita la primera etapa señalada anteriormente, ya que, precisamente, la variable explicativa bt es el resultado obtenido en la misma, es decir, el vector que contiene las estimaciones de los riesgos sistemáticos de los títulos basados en periodos anteriores al momento t de contraste del modelo18. Dicho vector se obtiene a partir de las series históricas de rentabilidad de los títulos mediante el Modelo de Mercado expresado en la ecuación [2]. Como se trata de una estimación, es evidente que se encuentra sujeta a error, por lo que el modelo [15] presenta regresores estocásticos debido a errores de medición en la variable explicativa. El problema que plantea la existencia de los mismos se ve agravado por el hecho de que se encuentran relacionadas las perturbaciones empíricas wt con la variable explicativa observada bt.
El modelo [15] planteado de manera convencional queda:donde:
[16]
X Matriz que contiene a las variables explicativas formada por dos vectores columna [1g; bt].
t Vector columna que contiene los parámetros g t y dt.En cuanto a las hipótesis necesarias para la correcta definición estadística del modelo, se puede demostrar que el comportamiento de las perturbaciones aleatorias wt19 es el siguiente:
donde:
[17]
0g Vector columna que contiene g ceros20.
ww La matriz g•g de varianzas y covarianzas contemporáneas de las perturbaciones aleatorias, donde el elemento general de la misma es sij. Es cuadrada, simétrica y definida positiva.Es importante destacar la existencia de dos problemas clásicos en las perturbaciones aleatorias de [15]:
Además, la variable explicativa del modelo empírico y las perturbaciones aleatorias están relacionadas21, por lo que:
Por un lado, existe un problema de heteroscedasticidad debido a las diferencias entre los riesgos específicos de los títulos, siendo éste un problema inevitable. Puede observarse que las perturbaciones aleatorias del modelo [15], recogen la parte de la rentabilidad no explicada por el riesgo sistemático, es decir, la debida a componentes específicos. La varianza de la rentabilidad se descompondrá en dos partes: la sistemática y la diversificable, y ambas serán distintas para cada título, lo que justifica el problema de la heteroscedasticidad.
Por otro, puede existir un problema de autocorrelación si se detectan relaciones cruzadas significativas entre las perturbaciones de los diferentes activos, aunque, en este caso, la cuestión queda supeditada a la existencia de dichas relaciones. El problema es evidente si se aceptan relaciones entre los títulos aparte de la común que tienen con el mercado, lo cual es coherente, por ejemplo, con los denominados efectos sectoriales.
donde:
[18]
0g g Matriz de ceros de orden g•g.Si el CAPM es cierto, en el modelo [15] debe suceder que:
[19]22
El procedimiento de estimación del modelo [15] ha tenido diversas soluciones desde que fue utilizado por Fama y MacBeth (1973). Fundamentalmente, las diferencias entre todas ellas vienen por la distinta consideración del problema de los errores de medición en las betas y las especiales características de las perturbaciones aleatorias23 de [15]. Como ya hemos indicado con anterioridad, el proceso de contraste consta de dos fases: periodo de estimación, en el que se obtienen las aproximaciones a los riesgos sistemáticos de los títulos24 y periodo de contraste, en el que se estima el modelo [15] y se contrasta el CAPM mediante la realización de las pruebas sugeridas en [19]. Así, Fama y MacBeth (1973) estimaron las betas de los títulos a partir del Modelo de Mercado25, utilizando en la segunda fase el método de MCO para estimar el premio por riesgo. El problema de este método es que no considera la problemática introducida por los errores de observación en las betas26. Para ello, tal y como indica Fama (1976), se pueden adoptar dos posibles soluciones:
En primer lugar, la utilización de series temporales más largas para la obtención de las estimaciones de las betas a partir del Modelo de Mercado [2], ya que la variabilidad del coeficiente angular es inversamente proporcional al tamaño muestral.
En segundo lugar, la utilización de carteras, ya que al ser la beta de las mismas combinación lineal de las de los títulos27, se garantiza la disminución de variabilidad de las estimaciones28.
De ambas posibilidades la primera no es idónea, ya que, como indica Fama (1976, pág. 132), partiendo de datos mensuales y de cara a la estimación de las betas, es conveniente la utilización de series de rentabilidad comprendidas entre cinco y siete años, debido a que para periodos superiores cambian29. Fama y MacBeth (1973) adoptaron la segunda solución, esto es, estimaron el modelo [15] no para títulos individuales, sino para carteras. Con ello, como hemos dicho con anterioridad, se puede conseguir disminuir el problema de los errores de medición, pero lo cierto es que sus consecuencias están presentes en mayor o menor grado30. Por ello, el método de MCO, utilizado por Fama y MacBeth (1973), no garantiza la obtención de estimadores con propiedades estadísticas deseables, ya que, por otra parte, no aborda los problemas de heteroscedasticidad y autocorrelación de las perturbaciones aleatorias del modelo. Una alternativa que considera estas cuestiones es la utilización de MCG para la estimación del modelo [15], aunque dejaría de lado el problema de los errores de observación. Lo cierto es que, si las estimaciones de las betas fuesen precisas, podría ser considerado como método óptimo, aunque esta condición no se puede garantizar para las aproximaciones obtenidas a partir del Modelo de Mercado, ni siquiera agrupando los títulos en carteras.
Litzenberger y Ramaswamy (1979) ofrecieron una solución parcial al problema de la estimación del modelo [15].
Concretamente, abordaron la problemática de los errores de observación y la existencia, únicamente, de heteroscedasticidad en las perturbaciones aleatorias del modelo. El supuesto de no autocorrelación implica que el comportamiento de los términos estocásticos puede resumirse de la siguiente manera:donde:
[20]
Diag swi 2 La matriz de varianzas y covarianzas diagonal de orden g•g de las perturbaciones aleatorias.La suposición de inexistencia de relaciones cruzadas implica, por otra parte, que las covarianzas entre las variables contenidas en el vector de errores de medición son nulas31, lo que facilita la transformación del modelo [15], dividiendo las variables entre la desviación típica de la estimación de la beta, llegando al siguiente modelo transformado:
[21]
donde los términos con asterisco se corresponden con las variables de la expresión [15] transformadas32, es decir, divididas por la desviación típica de la estimación de la beta correspondiente, lógicamente, a cada título. Simplificando más la ecuación anterior y llevándola a notación convencional queda:
donde:
[22]
rt * Vector columna que contiene el cociente entre las rentabilidades de los g títulos en el momento de tiempo t y las desviaciones típicas de los estimadores de las betas.
X* Matriz que contiene a las variables explicativas formada por dos vectores columna [1g*; bt*].
wt * Vector columna que contiene las perturbaciones aleatorias del modelo transformado.El comportamiento de las perturbaciones aleatorias es ahora:
donde:
[23]
sw* 2 Varianza de las perturbaciones aleatorias del modelo [22]33.El método de estimación propuesto por Litzenberger y Ramaswamy (1979) para el modelo expresado en las ecuaciones [22] y [23], es el de Máxima Verosimilitud (a partir de ahora MV). La expresión del estimador es:
[24]34
Además, puede obtenerse la matriz de varianzas y covarianzas del vector de estimadores propuesto en [24], como puede verse en Madariaga (1994)35, donde además se presenta otra solución alternativa basada en el método de MV36.
En cualquier caso, la solución planteada por Litzenberger y Ramaswamy (1979) no considera la existencia de relaciones cruzadas, lo que en definitiva limita ciertamente la validez del procedimiento. En este sentido, una solución más adecuada es la de Shanken (1982), que aborda la problemática completa del modelo expresado en [16] y [17], y para el que propone el siguiente estimador:donde:
[25]37
sv2 Varianza del error de medición.En la aplicación empírica, la estimación de la varianza del error toma el siguiente valor:
[26]38
Puede demostrarse que las propiedades del estimador propuesto son: eficiencia asintótica (cuando el número de periodos tiende a infinito) y consistencia (cuando el número de activos tiende a infinito).
En cualquier caso, existe un problema adicional, ya que las estimaciones del término independiente y coeficiente angular obtenidas para el momento de contraste t carecen de precisión estadística. Ello hizo que Fama y MacBeth (1973) utilizaran un procedimiento interesante, aplicable a todos los métodos de estimación propuestos, consistente en estimar el modelo [15] para una serie de momentos de tiempo que constituyen el periodo de contraste (t = 1, 2, ..., n). Con ello se obtienen series temporales de términos independientes y coeficientes angulares, a partir de las cuales estiman el promedio de las mismas suponiendo que se comportan normal, independiente e idénticamente distribuidas39.
Las pruebas que deben realizarse en este caso, si el CAPM es cierto, coinciden con las indicadas en [19], pero, evidentemente, haciendo referencia a los valores promedio. Así, para el periodo de contraste considerado (t = 1, 2, ..., n), el promedio del término independiente debe coincidir con el promedio del tipo sin riesgo y el promedio de coeficientes angulares con el premio por riesgo promedio40.
Posteriores estudios vinieron a confirmar la posibilidad de obtener estimaciones eficientes de dichos promedios, ya que, aunque la serie sea aleatoria, las estimaciones pueden tener diferente variabilidad, lo que en definitiva implica un problema de heteroscedasticidad. Su consideración obliga a la utilización de Mínimos Cuadrados Ponderados (a partir de ahora MCP41) y, si además existiera autocorrelación, sería necesaria la utilización de MCG.
Con ello hemos dado un repaso a las diferentes soluciones adoptadas por diversos autores de cara a la contrastación del CAPM mediante la metodología de corte transversal sin medias. Suele ser norma habitual utilizar todos los métodos propuestos, para comparar los resultados derivados de cada uno de ellos. Así, en nuestro estudio (véase Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez, 1994), se presentan los resultados derivados de cada uno de ellos y se puede apreciar una gran coherencia en cuanto a las pocas diferencias que se derivan de la utilización de los mismos42.
15 Fama y MacBeth (1973) hacen, además, una agrupación previa en carteras. Pero no entraremos ahora en ello.
16 No deben confundirse estos momentos con el periodo previo, es decir, el utilizado para estimar las betas y que configura la primera etapa mencionada anteriormente.
17 También cabe la posibilidad de realizar el planteamiento en excesos sobre el tipo sin riesgo.
18 Esta característica, que parece poco relevante, plantea una importante diferencia respecto al contraste de serie temporal, ya que permite que el riesgo sistemático de los títulos pueda cambiar en cada momento t en el que se contraste el modelo, aunque la utilización del Modelo de Mercado para realizar la estimación obliga a introducir la hipótesis de riesgo constante (véase la nota 3) en los periodos previos a t en los que se basa la misma.
19 Además, aunque no las indiquemos, se suponen las hipótesis estructurales habituales de linealidad y estructura única.
20 En realidad, las perturbaciones aleatorias del modelo [15] engloban un componente aleatorio específico de los títulos, al que se le incorpora un término adicional debido a los errores de medición en la beta. Suponiendo promedio cero para el primero, para que se cumpla la hipótesis de promedio cero de las perturbaciones empíricas, es necesario que el promedio de los errores de medición sea cero, para lo cual basta con que el estimador utilizado para estimar el riesgo sistemático sea insesgado, como el obtenido a partir del Modelo de Mercado (véase la expresión [6]). Puede verse una exposición más detallada en Madariaga (1994).
21 Ya hemos indicado con anterioridad cómo las perturbaciones aleatorias del modelo [15] engloban dos términos: una parte específica de cada título y otra debida a los errores de observación en las betas. Es precisamente ésta última la que origina la relación mencionada, ya que debe tenerse en cuenta que, por otro lado, la beta estimada con error se puede descomponer como suma de la verdadera beta y el error cometido en el proceso de estimación. En definitiva, tanto la estimación de la beta como la perturbación empírica son combinación de los errores de medición, por lo que existirá un problema de relación entre ambas. Es interesante señalar que, por otro lado, los errores de medición no se encuentran relacionados con la parte específica de los títulos debido al procedimiento utilizado, como señalaremos posteriormente.
22 Si el planteamiento del modelo se realiza en excesos sobre el tipo sin riesgo, el término independiente debe anularse y, al igual que en el planteamiento en rentabilidades, el coeficiente angular coincidir con el premio por riesgo de la cartera de mercado. En cualquier caso, cabe señalar que la utilización de una aproximación a la cartera e mercado hace que dichas condiciones se sustituyan por otras alternativas: el término independiente puede tomar cualquier valor y el coeficiente angular debe ser significativo (versión de Black, 1972). Puede consultarse Gómez- Bezares (1991, apéndice V-B).
23 Es interesante señalar que la principal complicación de esta metodología no consiste en la realización de las pruebas de hipótesis señaladas en [19], sino en la estimación del modelo empírico [15]. Esta es una característica fundamental de los contrastes de corte transversal (de éste y del que analizaremos en el apartado siguiente), frente al de serie temporal, donde el método de estimación no plantea problemas y existen diferentes alternativas en cuanto a cómo realizar el contraste del modelo.
24 Con ello, aunque se provoca un problema de errores de estimación, al hacerlo a partir de datos previos a t se garantiza la independencia de éstos con la parte de las perturbaciones aleatorias empíricas que no engloban el efecto del error de medición.
25 Véase ecuación [2].
26 Tampoco heteroscedasticidad y autocorrelación, aunque lo comentaremos en detalle más adelante. En cualquier caso, sí se debe indicar que estos problemas no implican sesgo ni inconsistencia, mientras que los errores en la variables explicativas hacen que se pierdan todas las propiedades de los estimadores, lo que da muestra de la gravedad del problema.
27 Puede verse Copeland y Weston (1988).
28 En realidad, la disminución de variabilidad se produce siempre, excepto si la relación entre las estimaciones de ambos títulos es exacta y positiva, como puede verse en Madariaga (1994).
29 Incumpliéndose la hipótesis de estructura única señalada en la nota 3.
30 Regresores estocásticos relacionados con las perturbaciones aleatorias del modelo.
31 Puede verse Litzenberger y Ramaswamy (1979).
32 Téngase en cuenta que el vector de unos asociado al término independiente también debe ser dividido entre dicha desviación típica.
33 En realidad, otra posibilidad que resuelve el problema de la heteroscedasticidad consiste en transformar las variables del modelo [15] dividiéndolas por el riesgo diversificable, ya que, como hemos indicado, es la causa de la diferente variabilidad de las perturbaciones aleatorias. En cualquier caso, al ser la varianza de la estimación de la beta obtenida a partir del Modelo de Mercado proporcional al riesgo diversificable, se consigue, de igual manera, resolver el problema. Esta última posibilidad presenta una ventaja adicional de cara a la estimación posterior del modelo, ya que, mediante dicha transformación, se puede suponer que el vector de errores se comporta normal e idénticamente distribuido, con un vector de ceros por promedio y matriz de varianzas y covarianzas unidad. Efectivamente, ya hemos indicado que bajo la hipótesis supuesta por Litzenberger y Ramaswamy (1979), es decir, ausencia de relaciones cruzadas, las covarianzas entre los errores de medición son nulas. Pero las varianzas del error de cada título serán diferentes, ya que, si recordamos que el riesgo sistemático estimado es suma de la verdadera beta y el error de medición, la varianza del error coincide con la varianza de la estimación de la beta y ésta no es igual para los activos analizados. Así, al dividir la beta estimada para cada título entre la desviación típica de su estimación, se consigue que los errores de medición tengan varianza uno, lo que unido al hecho de que (al ser la beta estimada mediante el Modelo de Mercado un estimador insesgado) tienen promedio cero, e introduciendo la hipótesis de normalidad, constituyen las hipótesis de comportamiento de los errores de medición.
34 No debe confundirse gt, es decir, el vector columna que contiene los estimadores del modelo, con g, que coincide con el número de títulos considerados en el contraste de corte transversal. Por otra parte se puede observar cómo al momento de segundo orden respecto al origen correspondiente a la variable explicativa del modelo transformado se le resta 1, es decir, la varianza del error de medición.
35 El caso general puede encontrarse en Fuller (1987).
36 En concreto (véase, también, Fuller, 1987), se presenta un estimador que se puede demostrar suponiendo fijos los valores de la variable explicativa no observada (verdadera beta). En cualquier caso, debe señalarse que se trata de una solución parcial a los problemas del modelo, al igual que la de Litzenberger y Ramaswamy (1979).
37 La estimación de la matriz de varianzas y covarianzas que aparece en la expresión [25] se obtiene a partir de los resultados obtenidos en la primera etapa del método, es decir, a partir de los residuos de los Modelos de Mercado planteados para estimar las betas. Dicha estimación está corregida por los grados de libertad, o lo que es lo mismo, dividida por n-2.
38 Obsérvese que la estimación de la varianza del error hace referencia a las betas obtenidas a partir del Modelo de Mercado, por ello en la fórmula [26] aparece n, que coincide, precisamente, con la amplitud del periodo de estimación de las mismas (primera etapa de la metodología de corte transversal sin medias); g, que es el número de títulos; y a suma cuadrática de desviaciones respecto al promedio de la rentabilidad de la cartera de mercado en el periodo de estimación.
39 En realidad, Fama y MacBeth (1973) comprobaron la aleatoriedad de la serie a partir del cálculo de autocorrelaciones, siendo aceptada.
40 Véase la nota 22 para matizar las condiciones en el caso de que el planteamiento del modelo [15] se haga en excesos, donde el promedio de términos independientes deberá ser igual a cero, coincidiendo el resultado en cuanto al promedio de coeficientes angulares. Por otra parte, resaltar de nuevo las condiciones para que se pueda aceptar la versión de Black (1972) del modelo: el promedio de términos independientes puede tomar cualquier valor y el de los coeficientes angulares debe ser significativo.
41 Esta idea la plantean Litzenberger y Ramaswamy (1979) y consiste, en la versión de MCP, en obtener un promedio de los coeficientes estimados (términos independientes y coeficientes angulares) ponderado, donde los pesos sean inversamente proporcionales a las varianzas de las estimaciones. Obsérvese que, frente a esta solución, Fama y MacBeth (1973) optaron por un promedio equiponderado. La discusión puede centrarse en torno al cálculo de las estimaciones de las varianzas de los estimadores del promedio, tanto del término independiente como de los coeficientes angulares. En este caso, Litzenberger y Ramaswamy (1979) proponen su obtención a partir de las estimaciones de las varianzas de los coeficientes del modelo [15] como combinación lineal. Por otro lado, Fama y MacBeth (1973) lo realizan a partir de las series históricas, mientras que en nuestro trabajo (véase Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez, 1994), además de esta última vía, optamos por calcular dichas estimaciones a partir del método utilizado, es decir, MCP (según si el cálculo del promedio se hacía equiponderado o a partir de MCP).
42 Por supuesto, cuando hablamos de coherencia hacemos referencia a que los diferentes métodos llevan a parecidas conclusiones en cuanto a la aceptación o rechazo del CAPM. Evidentemente, tanto las estimaciones puntuales como las desviaciones típicas de los estimadores del término independiente y premio por riesgo del modelo [15] son diferentes en cada caso.