|
|
  
|
Metodología de serie temporal
La metodología que Black, Jensen y Scholes (1972) denominan de serie temporal, realiza el contraste del CAPM apoyándose en el Modelo de Mercado (propuesto por Sharpe, 1963), planteado en excesos sobre el tipo sin riesgo. La ecuación del modelo para el título i en forma matricial es:
donde:
[2]
(ri -r0 ) Vector columna que contiene los excesos de rentabilidad del título i sobre el tipo sin riesgo, desde t = 1, 2, ..., n.
ai Ordenada en el origen del título i.
1n Vector columna que contiene n unos.
bi Riesgo sistemático del título i.
(rm-r0 ) Vector columna que contiene los excesos de rentabilidad de la cartera de mercado2 sobre el tipo sin riesgo, desde t = 1, 2, ..., n.
i Vector que contiene los valores que toman las perturbaciones aleatorias del título
i en cada uno de los momentos de tiempo, desde t = 1, 2, ..., n.Las hipótesis de comportamiento de los términos aleatorios se pueden recoger de la siguiente manera3:
donde:
[3]
DNn Distribución normal multivariante n dimensional.
0n Vector columna que contiene n ceros.
sei2 Varianza de las perturbaciones aleatorias del título i.
In Matriz unidad de orden n•n.La variable explicativa en sentido estricto del modelo [2], es decir, el exceso de rentabilidad de la cartera de mercado (rm-r0 ), es estocástica, lo que nos lleva a entender las hipótesis anteriores en términos condicionales, y a añadir una nueva hipótesis que establece la independencia entre el regresor y las perturbaciones aleatorias4:
donde:
[4]
Cov ( ) Matriz de covarianzas entre los vectores de variables que aparecen entre paréntesis.
0nn Matriz de ceros de orden n•n.El procedimiento óptimo de estimación del modelo [2] con las hipótesis consideradas es el de Mínimos Cuadrados Ordinarios (a partir de ahora MCO). Vamos a expresar los estimadores, para lo que pasaremos el modelo [2] a notación matricial convencional:
donde:
[5]
X Matriz que contiene las variables explicativas. Se corresponde con la siguiente matriz particionada de dos vectores columna [1n; (rm-r0 )].
Vector que contiene los parámetros de la relación: el término independiente ai y el coeficiente angular bi.La expresión en forma matricial de los estimadores MCO del modelo [5] es la siguiente5:
donde:
[6]
b Vector que contiene el estimador del término independiente ai y del coeficiente angular bi.La estimación de la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores resulta ser:
donde:
[7]
sei 2 Estimación de la varianza de las perturbaciones aleatorias. Su cálculo se realiza a partir de los residuos del modelo [5], como cociente entre la suma cuadrática y los grados de libertad (n-2).Si el CAPM es cierto, deben cumplirse las siguientes condiciones:
donde:
[8]
Cov ( ) Covarianza entre las variables que aparecen entre paréntesis.
V ( ) Varianza de la variable que aparece entre paréntesis.Es decir, el término independiente de la relación [2], ai, debe ser igual a cero, y el coeficiente angular, bi, igual al cociente expresado. La comprobación de ambas condiciones exige la realización de sendas pruebas de hipótesis individuales, que en la práctica se resumen en una única, la relativa a la ordenada en el origen6, ya que la estimación puntual de la pendiente coincide precisamente con el cociente de estimaciones indicado en [8]. En cualquier caso, Black, Jensen y Scholes (1972) critican la prueba propuesta, debido a que para la aceptación o rechazo del modelo únicamente se utiliza la información relativa a un título concreto, el activo i. Una alternativa, utilizada por los autores señalados, consiste en la realización del contraste a partir de carteras de títulos en lugar de activos individuales7. Otra posibilidad, más actual, consiste en la consideración del conjunto de g Modelos de Mercado (tantos como títulos individuales se están estudiando) como un único sistema de ecuaciones. En realidad, todas las ecuaciones se pueden considerar como un sistema aparentemente no relacionado (conocido en la literatura econométrica como SUR8), debido a la existencia de relaciones cruzadas entre las perturbaciones aleatorias de los diferentes títulos. Estas relaciones cruzadas incluyen, entre otros, los denominados efectos sectoriales (véase Blume, 1971)9.
El problema se puede expresar de la siguiente manera:donde:
[9]
sij Covarianza contemporánea entre las perturbaciones aleatorias de los títulos i y j.Es importante observar que únicamente se consideran relaciones cruzadas contemporáneas, suponiendo, por tanto, la inexistencia de relaciones para diferentes retardos temporales.
La ecuación [2] junto con las correspondientes al resto de activos considerados, en total g, pueden expresarse:donde:
[10]
(r-1gÄr0) Vector columna que contiene los g•n excesos de rentabilidad de los g títulos.
Ig Matriz unidad de orden g•g.
Vector que contiene los g términos independientes.
Vector que contiene los g coeficientes angulares o riesgos sistemáticos.
Vector que contiene los g•n valores que toman las perturbaciones aleatorias de los g títulos.
Ä Operador del producto directo o de Kronecker, véase Johnston (1984).Las hipótesis de los términos de error se pueden recoger en este caso10:
donde:
[11]
0ng Vector columna que contiene n•g ceros.La matriz g•g de varianzas y covarianzas contemporáneas de las perturbaciones aleatorias, donde el elemento general de la misma es sij. Es cuadrada, simétrica y definida positiva.
El procedimiento de estimación óptimo del sistema planteado en [10] es el de Mínimos Cuadrados Generalizados (a partir de ahora MCG). En cualquier caso, la coincidencia de la única variable explicativa en sentido estricto (rm-r0) para el conjunto de g ecuaciones, hace que los resultados de aplicar MCG al sistema coincidan con los obtenidos por MCO en lo que se refiere a las estimaciones puntuales (expresión [6]), pero no con respecto a las varianzas y covarianzas11.
La hipótesis nula multivariante a comprobar, si el CAPM se cumple, es:
[12]
En nuestro estudio (véase Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez, 1994) realizamos la prueba planteada en [12] apoyándonos en la F de Fisher12. Otra posibilidad, debida a Gibbons, Ross y Shanken (1989), se basa en un estadístico que, bajo el supuesto de normalidad, es el siguiente:
donde:
[13]
a Vector que contiene los estimadores del término independiente del Modelo de Mercado de los g títulos.
S Estimación de la matriz de varianzas y covarianzas contemporánea de las perturbaciones aleatorias, obtenida a partir de los residuos de la estimación del modelo [2] para todos los títulos13. También puede calcularse el estadístico basado en la estimación máximo verosímil de dicha matriz.
r - m Promedio de rentabilidad de la cartera de mercado.
sm Estimador máximo verosímil de la desviación típica de la rentabilidad de la cartera de mercado14.Puede demostrarse que el estadístico propuesto tiene una relación exacta con la F de Fisher que viene dada por:
[14]
Otra alternativa que, apoyándose en el Modelo de Mercado, sirve para contrastar el CAPM, y que omitimos en este trabajo, consiste en la utilización del Método Generalizado de Momentos (puede verse MacKinlay y Richardson, 1991). Su interés se basa en que los contrastes planteados son robustos a desviaciones en el supuesto de normalidad de las rentabilidades de los títulos, que, aunque desde el punto de vista teórico no resulta necesario de cara a demostrar el CAPM, sí resulta imprescindible desde el punto de vista estadístico, para que las propiedades de muestra finita de los tests planteados sean fácilmente derivables.
2 A pesar de que a lo largo del trabajo la denominemos cartera de mercado y la designemos como rm, debe tenerse en cuenta que nos referimos a la aproximación utilizada en el contraste empírico, que puede obtenerse a partir de las rentabilidades de los títulos estudiados o de los de un índice. La más habitual es la obtenida como media ritmética, aunque también pueden utilizarse promedios ponderados. En cualquier caso, la media equiponderada presenta ventajas de cara a la realización del contraste.
3 Además de éstas, también están implícitas las hipótesis estructurales de linealidad (relación lineal entre la variable explicada y la explicativa) y estructura única (coeficientes ai y bi constantes durantes los n periodos considerados).
4 Esta hipótesis supone, en realidad, que las perturbaciones aleatorias son independientes de los valores pasados, presentes y futuros de la rentabilidad del mercado.
5 Puede verse cualquier manual de econometría como, por ejemplo, Johnston (1984).
6 La prueba, suponiendo que las perturbaciones aleatorias siguen la distribución normal, se realiza comparando el resultado del cociente entre la estimación puntual del término independiente y la estimación insesgada de su desviación típica, con un valor teórico de la t de Student con n-2 grados de libertad para un error a especificado.
7 Existen diferentes criterios para la construcción de carteras no exentos de complicaciones, hasta el punto que algunos autores, como Lo y MacKinlay (1990), desconfían de su utilización. En nuestro estudio (véase Gómez-Bezares, Madariaga y Santibáñez, 1994), aplicamos el contraste únicamente a títulos individuales. En realidad, las razones de tal decisión están en relación con el mercado objeto de estudio, la Bolsa española, pues al tratarse de un mercado de tamaño intermedio, no permite la selección de suficientes títulos como para formar carteras, si ponemos condiciones exigentes de frecuencia y volumen de contratación.
8 Seemingly Unrelated Regression, puede verse Johnston (1984).
9 Obsérvese que la utilización del procedimiento de estimación de MCO para las ecuaciones individuales no tiene en cuenta dicha información, lo que puede afectar a la propiedad de eficiencia de los estimadores.
10 En cualquier caso, debe tenerse en cuenta que, para el conjunto de ecuaciones, también se suponen las hipótesis estructurales indicadas anteriormente: linealidad y estructura única.
11 Debe tenerse en cuenta que la denominación SUR hace únicamente referencia al sistema [10], debido a la relación existente entre las perturbaciones aleatorias de las ecuaciones individuales. En cambio, la estimación del modelo [10] se realiza por MCG, como ya hemos indicado. Pueden verse Johnston (1984) o Novales (1993), donde se ofrece una exposición más detallada.
12 Puede encontrarse la expresión general del estadístico en Novales (1993).
13 Para ello basta con dividir los numeradores de las estimaciones de las varianzas y covarianzas entre (n-2), es decir, el número de periodos considerado menos los grados de libertad que se pierden por el hecho de estimar ai y bi.
14 Se calcula dividiendo la raíz de la suma cuadrática de desviaciones respecto a la media entre la raíz de n, sin considerar la pérdida de un grado de libertad por la estimación del promedio.