EL A.P.T.

La Teoría de Valoración por Arbitraje (Arbitrage Pricing Theory, ó APT), fue formulada por Ross (1976). Es ésta una teoría que supera muchas de las críticas hechas al CAPM, incluidas las más importantes, mediante la utilización de un modelo más general (Copeland y Weston, 1988, págs. 219 y ss.). Así se ha criticado al CAPM el basarse en la eficiencia de la cartera de mercado; el APT no necesita esa condición y utiliza el argumento del arbitraje: "En equilibrio, las carteras que supongan una inversión cero y que no tengan riesgo, deberán dar una rentabilidad cero. En caso contrario los arbitrajistas invertirán en ellas hasta conseguir que este principio se mantenga". Estas carteras se denominan carteras de arbitraje. Otra diferencia consiste en que el CAPM se basa en el modelo de mercado, que mantiene que la rentabilidad de un valor viene explicada por su relación lineal con un único factor, la rentabilidad del mercado; por su parte el APT introduce más de un factor explicativo.

CAPM y APT dan lugar a una ecuación de valoración de activos similar, existiendo una relación lineal entre la rentabilidad esperada del título y el riesgo sistemático. Pero la definición de dicho riesgo sistemático es diferente en ambos modelos. En el CAPM, se define como el coeficiente "beta", que es la pendiente en la regresión lineal entre la rentabilidad del título y la cartera de mercado. En el APT, el riesgo sistemático viene dado por varias "betas", que son los coeficientes de los factores del modelo factorial. Por otro lado, en ambos modelos, se supone que existe un riesgo diversificable que no debe producir rentabilidad. Vamos ahora a desarrollar el APT.

Utilizaremos la nomenclatura ya expuesta al desarrollar el CAPM, añadiendo lo siguiente: El vector F, con k variables aleatorias que son los k factores que tomarán valores en los diferentes momentos,

F' = (F1 , F2 , F3 , F4 ,......., Fk ) (1)

Tendremos además la matriz b, que antes era un vector, teniendo ahora en cada fila los coeficientes para todos los factores, correspondientes a un determinado título. El vector R de rentabilidades de los títulos, quedará:

R = E(R) + b.F + e (2)

Vamos a tratar de deducir el modelo de la teoría del arbitraje. Supuesta una cartera de arbitraje, cualquiera de ellas supone una inversión 0:

W'.U = 0 (3)

La rentabilidad de la cartera será:

P = W'.R = W'.E(R) + W'.b.F + W'.e (4)

Hemos dicho que la cartera de arbitraje no debe tener riesgo; esto se consigue con un número n de títulos suficientemente grande en la cartera, una inversión pequeña en cada título y que la suma de los coeficientes de cada factor de riesgo sistemático sea cero para el total de la cartera. Esto último implica que los términos del vector W'.b deben ser cero: W'.b=0. Mientras que la eliminación del riesgo diversificable puede darse por supuesta.

Eliminamos así el riesgo sistemático y el diversificable. En consecuencia, de (4), P=W'.E(R), que deja de ser una variable aleatoria para el caso de una cartera de arbitraje.
Resumiendo tenemos que (i) una cartera de inversión nula [W'.U=0] y (ii) sin riesgo sistemático [W'.b=0], (iii) debe tener rentabilidad nula [W'.E(R)=0]. Las proposiciones (i) y (ii), forman un sistema de k+1 ecuaciones; si éstas se cumplen, se ha de cumplir (iii), luego la ecuación (iii) debe ser combinación lineal de las anteriores. También se puede razonar diciendo que un vector W que sea ortogonal al vector unitario [W'.U=0] y a los k vectores columna que forman la matriz b [W'.b=0], ha de ser ortogonal al vector E(R) [W'.E(R)=0]; esto implica que E(R) debe ser combinación lineal del vector unitario y de los vectores de la matriz b. En consecuencia:

E(R) = µ0.U + b.µ (5)

Donde µ es un vector de k coeficientes y µ 0 un escalar. Si existe título sin riesgo, su rentabilidad r0 coincidirá con µ0. Por otro lado, en el vector µ tendremos los premios por riesgo (precio del riesgo) para cada tipo de riesgo, representado por cada columna de la matriz b.

Supongamos la existencia de un título t, tal que su único riesgo sistemático dependa del factor j, y con coeficiente igual a uno; tendremos que la fila correspondiente de la matriz b estará compuesta de ceros, exceptuando un uno correspondiente al cruce con la columna j. Supongamos también que existe un título sin riesgo, de rentabilidad r0, y denominemos j a tal título t ya que su riesgo sistemático depende sólo de este factor. Tendremos: E(rj)=r0+µj; luego µj=E(rj)-r0, que es el premio por unidad de riesgo sistemático del factor j. El vector µ es, en consecuencia, un vector de premios por unidad de riesgo de cada uno de los factores.

Si sólo hubiera un factor de riesgo, b sería un vector columna y µ un escalar, que indica el premio por el único factor de riesgo considerado, tomando el riesgo del mercado, tendremos la fórmula del CAPM:

E(R) = r0.U + [E(P)-r0].b (6)

En efecto, la primera parte es el tipo de interés sin riesgo, no necesitando de más aclaración. Por lo que se refiere a la segunda, la cartera de mercado tiene b igual a la unidad y, en consecuencia, µ será su premio por riesgo [E(P)-r0]. Luego el CAPM es un caso particular del APT, con un sólo factor, y siendo éste observable.

Igual que sucedía con el CAPM, el APT es un modelo de expectativas de rentabilidad, por lo que no es directamente testable. La solución es muy similar a la que antes planteábamos; utilizaremos la hipótesis de expectativas racionales y haremos unos pasos operativos similares:

R = E(R) + b.F + e (7)

Y sustituyendo E(R) por su valor según la teoría: E(R) = µ0.U + b.µ,

R = µ0.U + b.µ + b.F + e (8)

Llamando u=b.F+e, podemos hacer una regresión cross - seccional:

R = µ0.U + b.µ + u (9)

Donde podemos, como antes, usar las medias. Luego veremos que este último paso no lo daremos en nuestro estudio, por las razones que después apuntaremos. Pueden verse, empero, algunos de sus problemas y soluciones en Bergés (1984, págs. 112-113).