Introducción

Como introducción se describen algunas características de las viviendas,  las cuales otorgan una idea del mercado inmobiliario.

-Heterogeneidad: las viviendas se distinguen entre ellas en muchos aspectos los cuales están asociados a diferentes características  en su construcción (cantidad de baños y ambientes, tamaño de la cocina y del parque, metros cuadrados, antigüedad, etc.).
-Inmovilidad en el espacio: esto implica diferencias  asociadas a la localización, las cuales pueden estar dadas  por,  costo de transporte, las amenidades (externalidades asociadas a la ubicación) y diferencias en costos y beneficios sociales (paquetes fiscales y gastos que se enfrentan en cada zona).        
La vivienda se ve fuertemente influenciada por el desarrollo urbano. En este sentido la economía urbana ha demostrado una estrecha relación entre el crecimiento urbano y el precio de la vivienda. La escasez de suelo que se va generando a través del desarrollo de las ciudades, trae como consecuencia que los terrenos disponibles y aptos para la construcción residencial sean más reducidos y por lo tanto aumenten las disponibilidades de pago por dichos terrenos. Sin embargo la teoría ha demostrado que esta alza en los costos se compensa por mantenerse  dentro de un radio de fácil acceso a los centros de comercio, lo que supone una disminución en los costos de transporte, para el abastecimiento del agente económico.
-Durabilidad: Por la gran cantidad de años de viva útil, la vivienda no solo es un bien de consumo, sino también de inversión. Debido a su gran durabilidad, la oferta y demanda de viviendas deben responder a condiciones presentes y futuras de mercado.
La oferta es proporcionada principalmente por los stocks  acumulables, originando una oferta de vivienda inelástica. Como consecuencia de esta inelasticidad,  los ajustes en el mercado se atribuyen principalmente a efectos precios, los cuales ajustan variaciones  en la demanda.
-Importancia presupuestaria: el gasto en vivienda (alquiler y mantenimiento) representan un gran porcentaje en los gastos totales de los individuos, aun más, en el caso de los que alquilan servicios de vivienda. Por lo tanto el  ingreso real disponible se considera una variable fundamental en la demanda de servicios de vivienda y por lo tanto en su precio
-Fuertes asimetrías de información: Se puede producir grandes problemas de selección adversa al no conocer mucha de las características de las casas. En si, lo que sucede es que los compradores solo conocen la función de distribución de las casas, pero no saben que casa están enfrentando (buena o mal). Ante esto, lo que están dispuesto a pagar los compradores es un precio que surge como promedio de las casas buenas y malas
-Costo de transacción importante: existen altos costos de búsqueda, monetarios y psicológicos que  producen que la elasticidad precio de la demanda sea más reducida a corto que a largo plazo1 .
-Necesidades básicas: La vivienda es un bien de consumo de primera necesidad la cual genera un importante interés social por el mercado de vivienda   lo cual a su vez hace que la demanda sea más inelástica.

Enfoque teórico

El enfoque de los precios hedónicos reconoce que la vivienda es un paquete de características (antigüedad, cantidad de piezas, metros cuadrados, distancia de los centros de comercios, etc.) donde no existe un mercado para la vivienda, sino uno  implícito para cada característica de la misma. Entonces el precio de la vivienda surge de la suma de estos  precios implícitos. El hecho de que no exista un mercado para la vivienda, desde este punto de vista, se debe a la existencia de múltiples características que diferencian una casa de la otra. Ante esto no podemos homogeneizar las viviendas en un único mercado.
 El objetivo principal del trabajo es estimar una función de precios hedónicos sobre la base de características asociadas a la construcción y localización de las viviendas.     
Para justificar este objetivo empírico se utilizara un modelo teórico simple (Rosen) que se basa en los siguientes supuestos:

• La vivienda es un bien heterogéneo
• Hay un único consumidor
• Ignora el bien y se concentra en sus características. Es decir, lo que se compra son las características de la casa (localidad, antigüedad, etc.). Entonces el consumidor enfrenta un precio de la vivienda dado por la suma de los precios implícitos de las características de la vivienda.

Donde “p” es una función de precios hedónicos y los Z representan las distintas características que definen esta función

Problema de las familias.

Z: es el vector de características de la vivienda.
X: es el bien numerario.
Y: es el ingreso.

Problema de las firmas

: Cantidad de firmas iguales.

C.P.O para las familias

  
La sustitución entre el bien numerario y la vivienda es igual al cambio en el precio de la vivienda cuando se agrega una característica más.
Esta condición, nos dice que lo que las familias  están dispuestas a pagar  por una característica mas (por ejemplo un baño mas) debe igualar al valor en el que se benefician por esa característica adicional.
    
C.P.O de las firmas

Esta condición nos dice que el costo marginal de producción por unidad de producto debe igualar al valor  que el mercado paga por ese producto.

Igualando las condiciones de las familias y de las firmas se obtiene la condición de equilibrio

Que nos dice que este se produce (el equilibrio) cuando la tasa marginal de sustitución se iguala a lo que los individuos están dispuestos a pagar por una característica mas y, al mismo tiempo, al costo marginal de producción por unidad de esa característica.
En términos generales  es la función de precios que coordina las decisiones de consumidores y productores, por lo tanto es importante estimar esta función lo cual justifica el objetivo de este trabajo.

IV
Parte empírica (estimación e inferencia)

      La estimación de la función de precios hedónicos se hará a  partir de  la base de datos del paper  THERE GOES THE NEIGHBORHOOD, URBAN QUALITY OF LIFE AND REAL ESTATE PRICES IN BUENOS AIRES, CRUCES, FERNÁNDEZ Y HAM (2008).

Se utiliza una función logarítmica-lineal  (semilogaritmica)

-La variable explicada esta representada por el logaritmo del precio (lnprecio) .
 -Las variables explicativas son las siguientes,

1. bathrooms: Cantidad de baños
2. dormitorio: Número de Dormitorios
3. garage: variable Dummy que toma el valor 1 si tiene garage y 0 si no lo tiene
4. pisos: Cantidad de pisos
5. dis_centrp: distancia al centro (en kms
6. : es un término de error, el cual contiene a las variables explicativas no tenidas en cuenta en el modelo

Resultados de la regresión

. regress logprecio bathrooms dormitorio garage pisos dis_centrp

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =    5821
-------------+------------------------------           F(  5,  5815) = 1296.90
       Model |  1333.11743     5  266.623486           Prob > F      =  0.0000
    Residual |  1195.47728  5815  .205585087           R-squared     =  0.5272
-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.5268
       Total |  2528.59471  5820  .434466445           Root MSE      =  .45341

------------------------------------------------------------------------------
   logprecio |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
   bathrooms |   .1629364   .0062005    26.28   0.000     .1507811    .1750917
  dormitorio |   .0642133   .0053935    11.91   0.000       .05364    .0747866
      garage |   .2334557   .0209068    11.17   0.000     .1924706    .2744408
       pisos |   .1401836    .010275    13.64   0.000     .1200408    .1603263
  dis_centrp |  -.0289439   .0018011   -16.07   0.000    -.0324748   -.0254131
       _cons |   11.21327   .0164871   680.12   0.000     11.18095    11.24559
------------------------------------------------------------------------------

Debido a que es una función semilogaritmica todos  los coeficientes estimados se interpretan como el cambio porcentual en el cuando aumenta (o disminuye) en una unidad la característica i.
      El“R-square” es 0.5272 indicando que la variabilidad de las variables explicativas explica  una proporción igual al 52.72% de la variabilidad total de la variable explicada (lnprecio), esto quiere decir que existen otras variables explicativas que no fueron tenidas en cuenta en este modelo, las cuales están inmersas en el término de error y, por lo tanto, explicarían la proporción restante de la variabilidad total de la variable dependiente.
Podemos ver que todas las variables  son significativas y positivas, excepto dis_centrp que es significativa y negativa, los valores observados por parte de sus estadísticos  son altos lo cual  nos lleva a rechazar la hipótesis nula de insignificancia en la explicación del comportamiento de la variable explicada. Esto quiere decir que las variables tenidas en cuenta en el modelo mantienen una relación lineal positiva con la variable dependiente.
La significatividad de cada una de las variables se mide realizando un test de hipótesis:

       Indica que no existe relación lineal entre  y la variable explicativa i.

Indica que existe relación entre  y la variable explicativa i.

El estadístico de prueba es el siguiente: 

Ante esto, nuestra regla de decisión será rechazar Ho si  el valor “t” observado es mayor al valor crítico (1.96) a un nivel de significación del 5%.
Dicho de otra forma si el valor “p” es menor al nivel de significación del 5%, entonces rechazamos Ho. Tal como vemos en la regresion el valor “t” observado es mayor al valor critico en todos los casos, lo que nos lleva  a obtener un valor p menor al nivel de significación, por lo tanto rechazamos la hipótesis nula argumentando que todas la variables explicativas introducidas en el modelo son relevantes  para explicar el comportamiento de  la variable “lnprecio”.

Un intervalo de confianza contribuye a confirmar  lo dicho, si mirando la salida de regresión esta nos indica que existe un 95% de confianza  de que el coeficiente  no  se encuentre en ese intervalo. Ahora, como vemos,  este intervalo [95% Conf. Interval] no posee el valor cero en ninguno de los casos,  lo cual nos  proporciona información  a favor del rechazo de Ho.
Observando el test de significatividad global F vemos que este toma un valor alto lo cual nos muestra que las variables son significativas en forma conjunta..

Teniendo en cuenta el rechazo de la hipótesis nula de no significatividad podríamos concluir que no existe una alta multicolinealidad entre la variables explicativas. El supuesto de no multicolinealidad nos dice que no existe relación lineal entre las variables explicativas. Si este supuesto se mantiene, los  coeficientes estimados serian lineales, insesgados y, sobre todas las cosas, significativos. Igualmente llevaremos a cabo un test para afirmar aun más la conclusión.

corr  logprecio pisos dis_centrp bathrooms dormitorio garage
(obs=5821)

             | logpre~o    pisos dis_ce~p bathro~s dormit~o   garage
-------------+------------------------------------------------------
   logprecio |   1.0000
       pisos |   0.6299   1.0000
  dis_centrp |   0.0961   0.3523   1.0000
   bathrooms |   0.6599   0.7021   0.2297   1.0000
  dormitorio |   0.5347   0.6113   0.2119   0.5948   1.0000
      garage |   0.5582   0.7660   0.3908   0.6121   0.4784   1.0000

Lo que podemos ver es que existe cierto grado de correlación entre las variables explicativas, pero el mismo es muy bajo para generar que el estimador de la varianza de sea alto como para llevarnos a aceptar Ho.
 La alta multicolinealidad, puede generar que  el estadístico “t” de significatividad individual sea chico cuando el R-square es aun alto. Esto nos puede  conducir a aceptar HO, mientras que por medio del estadístico “F” (de significatividad global) la estamos rechazando porque este podría arrojar un valor muy bajo. Cosa que no sucede en el modelo planteado.

La heterocedasticidad se produce cuando los términos de error dejan de tener todos la misma varianza, en ese caso los estimadores MCO no dejan de ser insesgados pero se vuelven ineficientes, por lo tanto dejan de ser MELI.
El siguiente test sirve para evaluar si existe heterocedasticidad. Esta prueba utiliza los residuales obtenidos de la regresión original, los eleva al cuadrado y posteriormente los corre contra las variables independientes. De este segundo modelo se obtiene el siguiente  estadístico  . el cual  se conoce como la prueba Breusch-Pagan que se distribuye como una chi-cuadrado con p-1 grados de libertad donde “p” es el número de regresores en la regresión auxiliar.

Las hipótesis se formulan suponiendo que la varianza del error se describe como cierta función lineal de las variables Z no estocásticas      
Si   (hipótesis nula), entonces   lo cual es una constante esto indica la ausencia de heterocedasticidad por el contrario, si  (hipótesis alternativa) estaríamos en presencia  de heterocedasticidad.

La regresión de los residuos al cuadrado respecto a las variables explicativas es la siguiente

. . reg  errcuadrados bathrooms dormitorio garage pisos dis_centrp

      Source |       SS       df       MS              Number of obs =    5821
-------------+------------------------------           F(  5,  5815) =   44.89
       Model |  47.1582023     5  9.43164046           Prob > F      =  0.0000
    Residual |   1221.8621  5815   .21012246           R-squared     =  0.0372
-------------+------------------------------           Adj R-squared =  0.0363
       Total |  1269.02031  5820  .218044726           Root MSE      =  .45839

------------------------------------------------------------------------------
errcuadrados |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
   bathrooms |   .0345649   .0062686     5.51   0.000     .0222762    .0468536
  dormitorio |   .0119381   .0054527     2.19   0.029     .0012488    .0226275
      garage |  -.0365792   .0211362    -1.73   0.084    -.0780141    .0048557
       pisos |   .0139715   .0103877     1.35   0.179    -.0063923    .0343354
  dis_centrp |  -.0220895   .0018209   -12.13   0.000    -.0256591   -.0185199
       _cons |   .2954049    .016668    17.72   0.000     .2627293    .3280804
------------------------------------------------------------------------------

El valor critico a un nivel de 95 % de confianza es 9.48 este  dado que el estadístico observado es 23.57 se rechaza la hipótesis nula de que los errores son homocedasticos. Esto provoca que los estimadores dejen de ser MELI.

Otro test utilizado es el de  White  el cual plantea que para detectar la heterocedasticidad en el modelo, se debe realizar una regresión sobre los errores al cuadrado y analizar  la siguiente  prueba; se toma el  de la regresión sobre los errores al cuadrado y se multiplica por el numero de observaciones, asumiendo que tiene una distribución se somete a esta prueba: si el estadístico observado  es mayor al valor critico, entonces rechazamos la hipótesis nula, es decir, el modelo es heterocedastico
El valor obtenido es 216.54 el cual es mayor al valor critico de 9.48, por lo tanto se confirma el resultado del  test anterior el cual afirma la  presencia de heterocedastcidad

Una forma de solucionar la heterocedasticidad es a través del método de estimación llamado MCG (mínimos cuadrados generalizados) el cual consiste en transformar las variables originales para que estas satisfagan los supuestos del modelo clásico y luego aplicar la estimación de MCO sobre el modelo transformado, de esta forma se asegura que los estimadores obtenidos sean MELI.

Teóricamente

Suponiendo que se conocen las varianzas heterocedasticas  dividiendo las variables del  modelo por la varianza  obtenemos el modelo transformado

A partir de esta transformación comprobamos que este modelo presenta errores homocedasticos, lo cual asegura  que si aplicamos el método de MCO al modelo transformado se obtendrán  como ya se dijo, estimadores que sean MELI
 

Lo cual es una constante, por lo tanto la varianza del termino de error transformado es ahora homocedastica.

Otra alternativa es estimar el modelo original por MCO pero computar estimadores correctos de las varianzas de los coeficientes, para esto se utiliza el estimador de White que calcula correctamente la segunda columna de la salida de regresión regress logprecio dis_centrp pisos garage dormitorio bathrooms, robust
 ---------------------------------------------------------------------------
             |               Robust
   logprecio |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
  dis_centrp |  -.0289439   .0018612   -15.55   0.000    -.0325926   -.0252953
       pisos |   .1401836   .0127179    11.02   0.000     .1152518    .1651153
      garage |   .2334557   .0207651    11.24   0.000     .1927484     .274163
  dormitorio |   .0642133   .0074096     8.67   0.000     .0496876     .078739
   bathrooms |   .1629364   .0082791    19.68   0.000     .1467062    .1791666
       _cons |   11.21327   .0190962   587.20   0.000     11.17583     11.2507
------------------------------------------------------------------------------

Los coeficientes obtenidos en esta regresión son los mismos de la regresión original.

La ausencia de Autocorrelacion supone que el término de error asociado a alguna observación no esta influenciado por el término de error asociado a cualquier otra observación, en términos formales  , por lo tanto la presencia de autocorrección puede expresarse de esta forma .
La correlación serial o autocorrrelacion puede ocurrir por diversas razones

• En el caso de series de tiempo , puede ocurrir que observaciones sucesivas sean interdependientes
• Sesgo de especificación debido a variables omitidas
• Forma funcional incorrecta del modelo
• Cuando se utilizan rezagos en las series de tiempo, entre otros.

Forma de detectar la autocorrelacion

El estadístico Durbin-Watson es el siguiente

Trabajando analíticamente se llega a  
  Siendo  una estimación del coeficiente de correlación

Como  esto implica que  cualquier valor estimado de  debe encontrarse entre estos valores, teniendo en cuenta los valores que toma si se encuentra que  es igual a 2 se puede suponer que no existe correlación de primer orden, si  indicando la presencia de una perfecta correlación positiva en los residuos . Por lo tanto cuanto mas cerca de 0 este mayor será la evidencia de una correlación serial positiva.
Si   entonces  , entonces cuanto mas cerca de 4 este el estadístico, mayor será la evidencia de una correlación serial negativa, también hay que tener en cuenta que este test  también arroja valores en los cuales no se puede decidir si aceptar o rechazar la hipótesis nula, las cuales son llamadas zonas de indecisión.
Este test se utiliza generalmente para datos de series de tiempo por lo tanto no se estimara en este trabajo.

Octubre de 2008

Bibliografía

Cruces, Fernandez y Ham (2008).”There goes the neighborhood, urban quality of life y real estate prices in Buenos Aires.  

Gujarati, “Econometría”. McGraw Hill.

Rosen, S (1974). "Hedonic Prices and Implicit Markets: Product Differentiation in Perfect Competition"; Journal of Political Economy.