RESUMEN

Se presenta un método comparativo de eficiencia, basado en dos técnicas de rangos y otra técnica de taxonomía numérica que, mediante la adición de algunos artificios, permite determinar un índice de eficiencia (o calidad) para cada elemento del conjunto a comparar (k elementos). Se consideran n variables o indicadores, donde cada uno de los elementos presenta un valor en cada variable, constituyéndose una matriz k x n . Se adicionan, como artificio, tres elementos: elemento con valores máximos, elemento con valores mínimos y elemento con valores medios, lográndose calcular para cada elemento un índice de eficiencia comparativa. El método RANTAX integra los resultados de las tres técnicas empleadas en un solo índice de eficiencia para cada elemento incluido en el análisis.

Palabras Clave: Eficiencia, calidad, métodos comparativos, taxonomía numérica, técnicas cuantitativas

Un prólogo necesario

Recientemente he retomado estudios sobre las técnicas matemáticas y estadísticas y su aplicación al turismo y he considerado necesario publicar algunos trabajos y estudios realizados anteriormente que, actualmente, mantienen su vigencia y aplicabilidad. Sobre la medición de la eficiencia se han elaborado diferentes técnicas en busca de un indicador integral o global de eficiencia, algunas sencillas y otras más complicadas, pero todas útiles desde el punto de vista del creador o del investigador. Las versiones modificadas de las técnicas que se exponen en este artículo no han sido publicadas anteriormente. Las mismas fueron creadas y consideradas en un programa computacional basado en lenguaje BASIC y aplicadas en aquel entonces a la medición de la eficiencia de los hoteles de la empresa Turhoteles de La Habana. En este artículo expondremos las versiones iniciales de las técnicas empleadas y su versión posterior con las modificaciones necesarias para lograr indicadores de eficiencia y su necesaria integración en un solo indicador.

Algunos resultados comentados al final del trabajo no se exponen por la limitación obligada en la presentación de un artículo, pero podrán ser expuestas posteriormente con otras técnicas de medición de la eficiencia, en un trabajo monográfico que nos proponemos realizar posteriormente. Cuando nos referimos a indicadores de eficiencia también nos referimos a indicadores de calidad, ya que la diferencia estaría en los indicadores empleados.

1. INTRODUCCIÓN

El Programa RANTAX está basado en tres métodos comparativos: dos métodos de rangos y un método de taxonomía numérica, de ahí su nombre de RAN(gos)TAX(onomía). Estos métodos, mediante un conjunto de indicadores, permiten establecer un orden de los objetos comparados según los resultados. Mediante algunas adiciones a estos métodos, hemos incluido la posibilidad de calcular una medida de la eficiencia para cada elemento u objeto comparado y para cada indicador considerado, con lo que se amplía extraordinariamente el campo de análisis.

Las adiciones a estos métodos consisten en añadir tres elementos u objetos ficticios, un primer elemento con los valores máximos de las variables, un segundo elemento con los valores mínimos de las variables y un tercer elemento con el valor medio de la distribución de cada variable. Los valores máximos y mínimos de cada distribución pueden ser definidos por el investigador de acuerdo a criterios o normas anteriormente definidas o pueden seleccionarse de las distribuciones de las variables.

De forma general, el problema tipo que se presenta es el siguiente:

Se considera un conjunto de k elementos Cada elemento presenta valores en los n indicadores empleados en el análisis. Los indicadores deben ser crecientes, o sea, mientras más alto es el valor mejor es el resultado. Los indicadores decrecientes se transforman en crecientes mediante la inversión del indicador, asegurando que el mínimo del indicador decreciente no sea cero.

La variable Xij, para i = 1,2,…,n y j = 1,2,…,k , expresa el valor del indicador i en el elemento j, lo que se muestra en la tabla siguiente:

Así, de forma general tendremos:

Dado este planteamiento inicial el objetivo que se persigue es encontrar un ordenamiento de los elementos, sobre la base de los valores de los indicadores para cada elemento, efectuando un análisis comparativo mediante un procedimiento establecido. Cada uno de los tres métodos comparativos que explicaremos a continuación, corresponden a su presentación “clásica” u “originaria”, es decir, tal y como se plantearon inicialmente.

Es conveniente, a medida que se vayan exponiendo los métodos, expresar los procedimientos y cálculos efectuados en cada uno de ellos mediante un ejemplo numérico.  

Consideremos el siguiente ejemplo hipotético:

Una empresa posee 5 establecimientos o unidades de producción y/o servicios, y se han definido 5 indicadores crecientes que reflejan los resultados del funcionamiento de dichos establecimientos. Los datos serían los siguientes:

2. Método de Rangos – Variante I

Para esta variante los rangos estarían dados por la relación de los valores de cada variable con la media aritmética de su distribución:

El índice de ordenamiento de cada elemento j corresponde al promedio de los rangos calculados para dicho elemento, o sea:

De acuerdo a esta variante del método de Rangos, el ordenamiento de los establecimientos, según los índices resultantes, sería:

Establecimiento Índice de Ordenamiento

El rango de cada variable expresa las veces que el valor de dicha variable para cada establecimiento es mayor que la media o promedio de los rangos para todos los establecimientos, por cuanto, mientras mayor sea el rango mejor es el resultado.

Igualmente, el índice de ordenamiento de cada establecimiento es la media o promedio de los rangos de todas las variables para dicho establecimiento, por tanto, mientras mayor sea el índice de ordenamiento, mejor es la posición del establecimiento.

3. Método de Rangos-Variante II

En la segunda variante del método de rangos se calcula la desviación estándar o típica para cada indicador:

Así tenemos, que el ordenamiento de los establecimientos sería:

Establecimiento 1               0,4690
Establecimiento 5               0,2234
Establecimiento 4             -0,0945
Establecimiento 2             -0,1497
Establecimiento 3             -0,4483

Respecto a los resultados de la variante I la diferencia se presenta entre los establecimientos 4 y 5. En la variante I el segundo lugar lo tiene el establecimiento 4 y en la variante II el establecimiento 5 y, el tercer lugar en la variante I lo tiene el establecimiento 5 y en la variante II el establecimiento 4. Los demás establecimientos mantienen los mismos lugares.

4. Método de Taxonomía Numérica

Los elementos sujetos a comparación se denotan por Pj, donde j = 1,2,…,k.

Los caracteres de los elementos a comparar se describen a través de indicadores expresados por las variables Xij, donde i = 1,2,…,n y j = 1,2,…,k, siendo i el número correspondiente a cada variable y j el número correspondiente a cada elemento a comparar.

Se crea el elemento abstracto P0, el cual sirve para los fines de cálculo y se determina mediante la relación:

donde J es el conjunto de indicadores estimuladores (crecientes), o sea, aquellos indicadores seleccionados cuyas dimensiones crecientes evidencian la mejoría de la situación en el campo que caracteriza este indicador. Recordemos que los indicadores decrecientes se convierten a crecientes mediante la inversión del indicador.

En el ejemplo, P0 sería: 0,91; 12,6; 215; 0,781; 11,11 para i = 1,2,3,4,5 respectivamente. Entonces, las variables Xij incluirían un valor adicional, o sea, el valor máximo de la distribución de Xi, quedando la tabla inicial en la siguiente forma:

Posteriormente, se procede a la estandarización de las variables Xij y Xi0, mediante la desviación estándar de la distribución de la variable Xi. Aquí, la media, la varianza y la desviación estándar se calculan considerando j = 1,2,…,k,k+1. 

La tabla de las desviaciones al cuadrado, su suma, la varianza y desviación estándar, se muestra a continuación:

Teniendo la desviación estándar de cada variable (indicador) podemos estandarizar las desviaciones respecto a la media, o sea, Zij:

Al tener todos los valores estandarizados podemos entonces establecer comparaciones. Así, determinamos las distancias de cada valor Zij, para j = 1,2,…,k, respecto a Zi0 (valor máximo), para cada i = 1,2,…,n , o sea, .

Mientras menor sea la distancia Dj entre el punto Pj y el punto P0, significa una alta calificación y el ordenamiento de los elementos comparados se hará según los valores de menor a mayor de las distancias Dj. Entonces:

Orden de los establecimientos según resultados:

Establecimiento 1:  1,8362
Establecimiento 5:  3,0584
Establecimiento 2:  3,7668
Establecimiento 4:  3,8526
Establecimiento 3:  4,2106

Podemos ahora comparar los resultados de los tres métodos:

                                   Rangos I       Rangos II      Taxonomía Numérica                               
Primer lugar                 1                      1                            1
Segundo lugar            4                      5                            5
Tercer lugar                  5                      4                            2
Cuarto lugar                 2                      2                            4
Quinto lugar                 3                      3                            3

Existen diferencias en los resultados de los 3 métodos, aunque no son muy significativas. Obsérvese que se mantiene el establecimiento 1 en el primer lugar y el establecimiento 3 en el último lugar para los tres métodos. Las diferencias se encuentran en los lugares restantes, motivadas por las formas de determinación de los indicadores de ordenamiento.

5. EL MÉTODO RANTAX

2.1 Elementos ficticios

A partir del contenido anterior, digamos “clásico” de los métodos utilizados, consideremos la inclusión de tres elementos ficticios, uno para el valor máximo de cada indicador, otro para el valor mínimo de cada indicador y el tercero para el valor promedio de cada indicador (calculado a partir de los valores reales).

El considerar el valor máximo de cada indicador nos permite establecer un intervalo desde el valor cero hasta el valor máximo para el cálculo posterior de la eficiencia, ya que se considera como supuesto que el elemento ficticio formado por los valores máximos de los indicadores tiene como eficiencia el valor 1.

La inclusión de los elementos ficticios formados por los valores mínimos y medios de cada indicador permite establecer el intervalo de eficiencia en que se mueven los elementos y el comportamiento promedio de los mismos.

Los valores máximos y mínimos de los indicadores pueden fijarse seleccionándolos del conjunto de valores de cada indicador correspondientes a los elementos considerados, o determinándolos de forma independiente por el investigador. La fijación de los valores máximos y mínimos según esta segunda variante, permite hacer comparaciones entre diversos períodos, entre valores planificados y reales, etc., siempre y cuando se mantengan estos mismos valores.

El elemento ficticio medio está formado por las medias aritméticas de las distribuciones de los valores de las variables Xi.

Si suponemos que los valores máximos y mínimos de los indicadores, se seleccionaron de los valores dados en la distribución, entonces, en el ejemplo la tabla inicial quedaría de la siguiente forma:

2.2.4 Criterios para un índice de eficiencia comparativa

Para el Método de Rangos I los índices de eficiencia se calculan mediante:

 , siendo 1 el método de rangos I y j = 1,2,…,k+3, por lo que:
E1max = 1,0000
E11 = 1,044 / 1,104 = 0,946
E14 = 1,027 / 1,104 = 0,930
E15 = 1,002 / 1,104 = 0,908
E1m = 1,001 / 1,104 = 0,907
E12 = 0,969 / 1,104 = 0,878
E13 = 0,965 / 1,104 = 0,874
E1min = 0,889 / 1,104 = 0,805

Para el Método de Rangos II tenemos que considerar la situación de que los rangos, y por consiguiente los índices de ordenamiento, presentan valores positivos y negativos, por lo que se hace necesario transformar el intervalo de valores para poder calcular adecuadamente los índices de eficiencia. Esto se logra a través de la variable estandarizada correspondiente al valor 0 (Z0), donde:

O sea, el orden por el índice de eficiencia sería:

Establecimiento máximo               1,0000
Establecimiento 1                           0,9605
Establecimiento 5                           0,9469
Establecimiento medio                  0,9357
Establecimiento 4                           0,9316
Establecimiento 2                           0,9273
Establecimiento 3                           0,9123
Establecimiento mínimo                0,8564

Para el Método de Taxonomía Numérica también tenemos que hacer transformaciones, ya que el índice de orden del establecimiento máximo es 0 y no es posible usarlo en el cálculo de la eficiencia. El índice de eficiencia del método de taxonomía numérica es:

El ordenamiento de los establecimientos según los cálculos realizados sería:

Establecimiento                  Índice de Eficiencia
Máximo                                             1,0000

1. 0,9495

Medio                                                0,9278
     5                                                   0,9147
     4                                                    0,9001
     2                                                    0,8960
3                                                   0,8869
Mínimo                                              0,8408

Comparando los resultados de los tres métodos tenemos:

Establecimiento       Rantax I Lugar  Rantax II   Lugar Tax Numérica   Lugar
     1                            0,946        1         0,9605         1          0,9495                1
     2                            0,878        4         0,9273         4          0,8960                4
     3                            0,874       5         0,9469         5          0,8869                5
     4                            0,930        2         0,9316         3          0,9001                3
     5                            0,908       3         0,9469         2          0,9147                2
Máximo                     1,000                   1,0000
Medio                        0,907                   0,9357
Mínimo                      0,805                   0,8564

Observamos que la única diferencia entre los 3 métodos es que en el Rantax I los establecimientos 4 y 5 ocupan los lugares 2 y 3 respectivamente y en los otros dos métodos lo ocupan a la inversa.

De acuerdo al nivel de complejidad en la determinación de los índices de eficiencia, se establece un índice integral de eficiencia, dado por el Método Rantax, considerando un peso del 20% a Rantax I, 30% a Rantax II y 50% a Taxonomía Numérica, por lo que:

Establecimiento       Índice integral de eficiencia         Lugar
            1                                 0,9521                                      1
            2                                 0,9018                                      4
            3                                 0,8919                                      5
            4                                 0,9155                                      3
            5                                 0,9230                                      2
    Máximo                             1,0000
     Medio                               0,9260
    Mínimo                              0,8383

3. El Programa RANTAX

El Método RANTAX no solamente calcula un índice integral de eficiencia por establecimiento. Es posible determinar el aporte a la eficiencia por unidad de cada indicador (eficiencia marginal) y el aporte para cada establecimiento. El programa diseñado para la aplicación del Método Rantax, fue escrito, en lenguaje BASIC, permitiendo adicionar indicadores y/o establecimientos y realizar cambios en los valores de las variables. Su deficiencia consiste en que hay que registrar los datos, no trabaja sobre bases de datos existentes y no guarda resultados, aunque sí los imprime. Su salida comprende el indicador integral de eficiencia calculado para cada establecimiento (incluyendo los establecimientos ficticios) y el orden que le corresponde a cada establecimiento real. Respecto a los indicadores brinda los valores máximo y mínimo considerados y la eficiencia por unidad de medida de cada indicador. Y respecto a cada establecimiento (incluyendo los tres establecimientos ficticios) brinda los valores correspondientes a los indicadores, la eficiencia aportada por cada indicador y % del total de eficiencia del establecimiento y el índice de eficiencia del mismo. Si no sale del programa, después de imprimir los resultados, puede adicionar o eliminar indicadores y/o establecimientos y realizar cambios en los existentes.

BIBLIOGRAFÍA

1. Flurex, K., Ya. Lukaschevich, Ya. Dorcal, J. Steyajaus, S. Zuhzhi (1951):             Taxonomía de Vrotalov, Resumen Antropológico, T. XXII
2. Herrera Guirola, Alberto (1986): Nociones de Taxonomía Numérica, Editorial Científico-Técnica, La Habana.
3. Jelvig, Z., A. Kanin-Gospodarovich (1975): Utilización del Análisis Comparativo en las Investigaciones Internacionales del Centro Científico-Investigativo Estadístico-Económico de la Dirección Central de Estadística de la República Popular de Polonia,       Cuaderno 83, Varsovia.
4. Llanes Pérez, Roberto (1988): Aplicación de Métodos Comparativos de Eficiencia en el Análisis Económico de la Empresa Turhoteles de Ciudad de La Habana,            Tesis Doctoral, Escuela Superior de Economía de Bratislava.
5. Llanes Pérez, Roberto (1990): Rantax-Programa Integral de Métodos de Eficiencia Comparativa, Ponencia presentada en Sesión Científica de la Cátedra de Estadística de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Oviedo, España.
6. AYALA, HÉCTOR; LLANES, ROBERTO; MESA, IMILSE; CANAL, RAMIRO (1996): Programa de Calidad en el Hotel Cubanacán Biocaribe, Ponencia presentada en el CIPTUR´96, La Habana.