José Franciso Bellod Redondo
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jfbellod.blogspot.com
 

 

“Llevo muchos años trabajando como profesora de economía teórica. Quisiera creer que me gano honradamente la vida, pero con frecuencia me asaltan dudas. Me preocupa particularmente el caso de la India y otros países en vías de desarrollo, la mayor parte de cuyas doctrinas económicas les llegan de Inglaterra o en inglés. ¿Lo que les damos es útil para su desarrollo?”.

Joan Robinson (1960)

Introducción.

La estrategia neoclásica consiste en construir dos teorías separadas para determinar el precio de equilibrio de bienes abstractos, aislados, yuxtaponiendo después las soluciones así alcanzadas.

Se construye en primer lugar una teoría explicativa de la función de demanda. Posteriormente una teoría que soporte la función de oferta. Y una vez que [más o menos] se ha demostrado que existen tales funciones podemos ir, mercado por mercado, localizando los precios de equilibrio, como ya hemos indicado anteriormente.  

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Para citar este artículo puede utilizar el siguiente formato:
Bellod Redondo, J.F.: "Aspectos críticos de la teoría de la demanda" en Contribuciones a la Economía, marzo 2009 en http://www.eumed.net/ce/2009a/

La Teoría de la Demanda dominante [y que en los manuales se nos presenta como única, si acaso con la excepción de la Teoría de la Preferencia Revelada, de Samuelson (1938 a, b)] se inscribe en el ámbito de la Teoría Ordinal de la Utilidad. Su desarrollo formal puede encontrarse en Debreu (1959, capítulo 4), mientras que los manuales de Microeconomía generalmente utilizados suelen presentar versiones simplificadas.

De acuerdo con esta teoría, cada individuo se enfrenta a un universo de bienes . Se llama cesta a cada combinación concreta de bienes . El consumo (compra) de una cesta reporta al individuo cierto grado de satisfacción al que denominamos utilidad. De acuerdo con el Principio de Ordinalidad, renunciamos a medir la cantidad de satisfacción o utilidad que recibe el individuo : lo único relevante es poder agrupar las cestas que proporcionan el mismo nivel de satisfacción y poder comparar unas cestas con otras según sean más o menos preferidas (proporcionen más o menos satisfacción). Aquellas cestas que proporcionan al consumidor el mismo nivel de utilidad se agrupan en los denominados “conjuntos de indiferencia”, cuya representación gráfica son las archiconocidas “curvas de indiferencia” creadas por Edgeworth y Pareto.

Posteriormente el individuo tendrá que determinar objetivamente (de acuerdo con los precios de los bienes y con su renta) qué cestas son asequibles a su presupuesto y cuales no.

Finalmente, atendiendo al Principio de Racionalidad elegirá (comprará) la cesta que ocupe el lugar más elevado, según capacidad de generar satisfacción, en la lista de cestas asequibles. En términos elementales: comprará lo mejor de entre aquello que esté a su alcance. Con ello el consumidor se garantiza el mayor nivel de bienestar, dados unos precios y un nivel de renta. Es la popular solución que hemos representado en el Gráfico 1 para un mundo de dos bienes: el sujeto escoge la cesta porque es la que le permite acceder a la curva de indiferencia más alejada del origen pero respetando su restricción presupuestaria.

Por supuesto, todo esto tiene lugar en condiciones de plena certidumbre lo cual resta mucho realismo a la Teoría de la Demanda. Se supone implícitamente que el resultado obtenido por el consumidor, esto es, el nivel de utilidad o curva de indiferencia que logra alcanzar al elegir una cesta, depende exclusivamente de su decisión, esto es, de la cesta elegida. Pero esto es absolutamente falso en el mundo real: el resultado depende también de ciertas condiciones que se producen entorno al individuo y que este ni puede controlar ni conoce a priori, es decir, depende de los posibles “estados de la naturaleza” .

Si repetimos una y otra vez el procedimiento que nos ha permitido localizar la cesta pero modificando sucesivamente el precio de uno de los bienes (por ejemplo ), podríamos extraer de las sucesivas cestas óptimas así obtenidas los valores óptimos de , que emparejados con los valores de darían lugar a la función de demanda ordinaria o marshalliana de , esto es .

Formalmente, la función de demanda ordinaria o marshalliana se obtiene como resultado del siguiente problema de optimización:

siendo la función de utilidad que caracteriza al consumidor, el precio del bien y la renta monetaria del individuo. Cabe destacar que el problema de elección se resuelve en un marco de plena certidumbre, en el que los agentes tienen plena certeza sobre los precios, la renta monetaria, etc. La resolución de (1) se hace mediante el oportuno lagrangiano:

que da lugar a la conocida solución:

En resumen, hemos logrado lo que se nos muestra en el Gráfico 2 y, si logramos agregar las demandas individuales de cada agente, habríamos completado la mitad del puzzle: el lado de la Demanda del mercado.

Para que todo este procedimiento pueda llevarse a cabo es necesario establecer algunos principios básicos, fácilmente comprensibles pero muy exigentes, sin los cuales no es viable el procedimiento descrito: con los Axiomas de la Teoría de la Demanda. Se denomina axioma a un principio tan elemental y sencillo que no requiere demostración. Se puede aceptar como válido o no, pero no es posible desmenuzarlo más para llegar a algún tipo de verdad más elemental. Es deseable que quienes construyan una teoría la basen en axiomas fácilmente aceptables porque si los axiomas no son aceptados la teoría carece de sentido. Un buen conjunto de axiomas ampliamente aceptados es un magnifico punto de partida para lograr el consenso acerca de la pertinencia de una teoría.

El tratamiento que los propios partidarios de la Economía convencional hacen de la axiomática de la Teoría de la Demanda es más propia de un grupo religioso que de un familia científica. La no aceptación de los axiomas significa la exclusión del grupo… del mismo modo que la no aceptación de la infalibilidad del Papa puede conllevar la excomunión… lo cual carecería de importancia de no ser por el control económico e institucional que los epígonos del marginalismo ejercen sobre la docencia y la investigación. En otras palabras, en la axiomática de la Teoría de la Demanda no se aceptan “medias tintas”: aceptaremos las reglas de juego de la secta y comprobemos hasta que punto se sostiene esta axiomática.

Examinemos a continuación esos axiomas y su problemática.

Viabilidad y Realismo de los Axiomas.

Los axiomas fundamentales de la Teoría de la Demanda son:

 Completitud o Comparabilidad.

 Reflexividad.

 Transitividad.

 Monotonía

 Continuidad.

 Convexidad.

 Racionalidad. Independencia.

Si se cumplen los axiomas de reflexividad, completitud y transitividad se dice que las preferencias del consumidor forman un conjunto de elección preordenado. Si la ordenación de preferencias es completa, transitiva, reflexiva y continua, entonces las preferencias se pueden representar a través de una Función de Utilidad continua. El incumplimiento de determinados axiomas conduce a la imposibilidad de determinar cuál es la cesta elegida, bien porque el problema (1) no tenga solución, bien porque su solución sea indeterminada.

Repasemos estos axiomas para comprobar su alcance.

 Completitud ó comparabilidad: dadas dos cestas cualesquiera , podremos afirmar o bien que es preferida a , o bien que es preferida a o bien que ambas cestas son indiferentes. Formalmente, para todo , o bien , o bien o bien .

Este axioma no tiene nada de trivial ¿Realmente podemos comparar todas las cestas que puedan presentársenos en la vida real? Hay evidencia de que esto no es así. Pensemos que hay bienes que el individuo nunca ha consumido. Por ejemplo un producto de reciente aparición, o un producto que por la reducida renta del individuo no formaba parte hasta ahora de su conjunto asequible y no la ha consumido con anterioridad. En definitiva, ¿cómo otorgar un nivel concreto de utilidad a una cesta que contiene al menos un bien que nunca hemos consumido? Es bastante razonable pensar [Dobb (1972, p. 9)] que en casos como este (especialmente cuando se produce un incremento de la renta real del individuo), la adquisición de bienes no consumidos con anterioridad responda más las razones identificadas por Veblen [1899], esto es, convencionalismos sociales, imitación, etc…

Un aspecto crucial de este proceso de comparabilidad es que la preferencia por una u otra cesta no debe depender de los precios de los bienes. Curiosamente en el mundo real puede suceder exactamente lo contrario: en ocasiones el precio de un bien sintetiza aquella información de la que no disponemos y que resulta imprescindible para elegir. Pongamos a título de ejemplo el amplio y complejo mundo del vino: ¿cómo elegir un buen vino para agasajar a nuestros invitados en una ocasión especial? ¿Cómo elegir entre las 10 o quizá 20 marcas distintas que ofrece un establecimiento especializado? Damos por hecho que a mayor precio mayor calidad. Curiosamente estamos invirtiendo el proceso mental que nos lleva a elegir: en vez de estar dispuestos a pagar un determinado precio por una determinada cantidad de un bien del que sabemos que nos proporcionará una determinada utilidad, suponemos lo inverso, esto es, que su calidad guardará una determinada proporción con su precio. De algún modo estamos supliendo una laguna informativa extrapolando una experiencia ajena. Suponemos que quienes conocen el mundo del vino saben qué satisfacción (relativa) se obtiene de cada marca y qué precio es razonable pagar por él. Así que suponemos que el precio marcado por el vendedor responde a un proceso lógico análogo al que nosotros realizaríamos como consumidores si dispusiésemos de la información necesaria para efectuarlo.

En otros casos el ánimo de ostentación nos lleva a desear un bien con mayor intensidad cuanto mayor sea su precio, por el carácter de “exclusividad” que su elevado precio le confiere. Es el gusto por el lujo que el sistema capitalista promueve entre los individuos.

 Reflexividad: cualquier cesta es al menos tan preferida como ella misma. Formalmente, para todo , . Se trata de un supuesto banal a efectos de nuestro estudio.

 Transitividad: Este axioma indica que si la cesta es preferida por el consumidor a la cesta y esta, a su vez, a la cesta , la cesta será preferida a . Formalmente, para todo , si y entonces .

Este principio nos proporciona una herramienta operativa imprescindible para que el sujeto pueda encontrar su cesta óptima. Si aceptamos el supuesto de comparabilidad, basta con ir tomando cestas de dos en dos para confeccionar una lista de cestas ordenadas según nuestro grado de satisfacción. Si comparamos la cesta con la cesta y concluimos que [después de haber concluido que ], podemos asegurar que aparecerá en tercer lugar en una cesta encabezada por . El caso más difundido en los manuales convencionales es el de las “preferencias lexicográficas” pero, como indica Villar (1999, p. 27), hay numerosos contextos en los que no resulta posible el cumplimento de esta propiedad. Así sucede cuando las opciones son imperfectamente distinguibles, o cuando la decisión de compra se toma mediante votación por el grupo (por ejemplo, la familia) y no por el individuo. Las preferencias individuales no pueden “sumarse” ni agregarse para dar lugar preferencias transitivas de grupo así que cuando el grupo toma una decisión sin unanimidad (el padre en nombre del resto de la familia, un dictador, la mitad más uno de los miembros del Congreso…), no puede asegurarse que estemos tomando la mejor decisión “para todos”. Lejos de tratarse de extrañas excepciones al principio de transitividad, los ejemplos anteriores constituyen escollos habituales del mundo real. En palabras de Morgenstern (1972): “La teoría económica supone que la asignación de recursos «sólo» se realiza a través de los mercados… esta visión olvida por completo la existencia de gobiernos, nacionales y locales, donde las asignaciones no se hacen por conducto del mercado sino por votación… el congreso, los parlamentos, los gobiernos, votan cuánto debe invertirse en bienes de capital, cuándo y dónde deberá hacerse la inversión. Votan el ingreso de millones de personas (empleados públicos, personal militar, receptores de pagos de beneficencia, etc…”.

 Monotonía: Si tenemos dos cestas idénticas salvo en la dotación de uno de los bienes, el sujeto prefiere aquella que contiene mayor dotación de ese bien. Formalmente, una relación de preferencias es monótona o no – saciable si para todo , existe un tal que .

Como indican Hildebrand y Kirman (1981) esto equivale a afirmar que “los individuos son codiciosos”: siempre quieren más de cualquier bien, siempre se sienten mejor teniendo más . No es un supuesto razonable: tarde o temprano los aumentos sucesivos en el consumo de un bien nos saturan. Incluso en el caso extremo de sujetos que sufren adicciones o drogodependencias, alcanzada cierta cantidad de consumo del bien adictivo, no desean más. Incluso un fumador compulsivo llegará a un límite más allá del cual no desea más tabaco: el bien se convierte en un mal. Además, no podemos aceptar alegremente que la “codicia” es una cualidad intrínseca del ser humano: puede ser inducida por el sistema y también puede ser mitigada.

 Convexidad. Este supuesto admite varias modalidades. En su versión más fuerte o restrictiva, la convexidad estricta, implica que preferimos una cesta “intermedia” (que lleve un poco de todo), a las cestas “extremas” o que concentran gran parte del consumo en uno o en unos pocos bienes. Formalmente, dadas dos cestas cualesquiera , tal que , entonces , siendo , para todo .

La convexidad es uno de los requisitos que más elegancia aporta a la Teoría de la Demanda: garantiza que existe la solución al problema (1) y que es única y por tanto convierte la Teoría de la Utilidad Ordinal en una herramienta “práctica”. En el Gráfico 3 representamos una curva de indiferencia correspondiente a unas preferencias convexas pero no estrictamente convexas. En este caso, para un precio del bien como cualquier cantidad demandada situada en el intervalo cumple la condición (3) y por tanto es de equilibrio: existe solución pero es indeterminada porque no sabemos qué cantidad de , exactamente demanda este sujeto al precio .

 Continuidad. Dadas dos cestas , tal que podemos encontrar cestas como muy próximas a tal que .

La no – continuidad hace las curvas de indiferencia simple y llanamente inviables.

Un hecho práctico que pone en duda la idea de continuidad es el de la divisibilidad de los bienes. Como recuerda Shubik (1992, p. 49) “hay una conexión entre la continuidad de las preferencias y la divisibilidad perfecta de los bienes. Si tenemos una o más mercancías indivisibles… entonces debemos renunciar a la continuidad”. ¿Realmente son divisibles los bienes? En muchos casos sí . Pensemos por ejemplo en un bien tan común como el pan. Una barra de pan de 1 Kg. puede dividirse, por ejemplo, en dos trozos de 0´5 Kg. cada uno. Sin embargo, la divisibilidad va más allá de una trivial operación aritmética. Implica, en primer lugar y ante todo, que el bien una vez dividido, conserve sus propiedades básicas, aunque en una escala diferente. Así sucede con cada una de las piezas resultantes de dividir una barra de pan: siguen siendo pan, conserva su sabor, sus propiedades nutricionales… Con otros bienes no sucede así: un automóvil puede ser dividido en dos trozos idénticos pero el bien se destruye: cada una de las partes resultantes deja ser un bien útil para el transporte, son sólo chatarra. Y otro tanto sucede con bienes tan habituales como los electrodomésticos, el vestido, la vivienda, etc.

La exigencia de divisibilidad implica una segunda dimensión de carácter social o institucional. Una barra de pan de 1 Kg. es técnicamente divisible. Pero, ¿encontraremos en el mercado barras de 0´5 Kg. de pan? ¿De 0´1 Kg.?... ¿De 1 gr.? Si las empresas no están dispuestas a ofrecer determinados bienes en las fracciones adecuadas, los consumidores podrían elegir cestas que no estuviesen disponibles en el mercado. Por ejemplo aquella cesta que, entre sus componentes, contuviese 1 gr. de pan. Si dada la renta los precios el consumidor elige una cesta así, la operación de compraventa no podría llevarse a cabo y no existiría equilibrio en el mercado.

La mayoría de bienes y servicios que nos rodean son indivisibles.

Como indica Guerrero (2000), en estas condiciones las curvas de indiferencia serían muy distintas de las que se muestran habitualmente en los manuales. Si los bienes con los que tratamos son indivisibles tendríamos a lo sumo curvas de indiferencia como las que aparecen en el Gráfico 4: las discontinuidades indican cestas que no existen porque contienen la fracción de algún bien indivisible. En tales casos puede haber solución, es decir un punto como “A” del lado izquierdo del Gráfico 5, o puede que no, como ocurre en el lado derecho. En otras palabras, ya no podemos garantizar la existencia de una solución óptima al problema planteado en (1).

Una parte importante de la profesión considera que las curvas de indiferencia carecen de sentido.

Por una parte tendríamos el enfoque de los economistas marxistas y de los economistas institucionalistas: “Gracias al surgimiento de la publicidad y de otras formas de la competencia no basadas en los precios, las empresas no solo trataron de crear necesidades nuevas sino también de alentar los «cánones pecuniarios del gusto». Una vez que los consumidores han desarrollado el hábito de juzgar la calidad por el precio, todo cambio del precio afecta a sus gustos. No tiene razón de ser que se tracen curvas de demanda de productos homogéneos basadas en gustos dados cuando cada cambio del precio altera la naturaleza del producto en las mentes de los consumidores y así desplaza las curvas de demanda. La teoría tradicional del comportamiento del consumidor [según institucionalistas y marxistas], basada en la creencia de que los gustos de los consumidores son estables e independientes de los precios debe ser sustituida por una teoría del consumo socioeconómica en sentido más amplio” .

Por otra parte, el desarrollo de la Teoría de Juegos ha dado nuevas alas a la Teoría de la Utilidad Cardinal. De especial importancia es la obra de Von Neumann y Morgenstern “Theory of Games and Economic Behavior” [1944], que demostró que añadiendo algunos supuestos bastante plausibles a los aceptados como verdaderos para un consumidor que escoge entre resultados seguros, podría construirse una escala cardinal de preferencias. Los economistas especializados en Teoría de Juegos rechazan el carácter conductista (mecánico) del comportamiento del consumidor que subyace en las curvas de indiferencia, y reclaman una teoría de la utilidad que tenga en cuenta aspectos tan reales como: la interdependencia entre los sujetos (particularmente la negociación de los precios y las relaciones de poder), la transferibilidad de utilidad, la comparación interpersonal de utilidades, la incertidumbre y las expectativas . En palabras de Morgenstern (1972): “…los libros de texto, para conservar esta herramienta anticuada [las curvas de indiferencia], simplemente se desentienden de la incertidumbre y las expectativas; ¡como si no hubiera incertidumbre en la vida, en la planeación, en la determinación de los precios, en los beneficios, en el comportamiento, etc.”.

Incertidumbre y Expectativas.

Algunos economistas críticos con la Teoría de la Utilidad Ordinal han puesto el acento en el marco de certidumbre y ausencia de expectativas postulado por la Economía convencional, características ambas que reducen al mínimo el realismo de la economía convencional.

El profesor Oskar Morgenstern (uno de los padres de la Teoría de Juegos) considera que aún aceptando los axiomas de la Teoría de la Utilidad Ordinal examinados más arriba, estamos ante una teoría inadecuada por cuanto no recoge esos dos aspectos esenciales de la realidad. En primer lugar, reseña que los sujetos tienen que tomar decisiones desconociendo su resultado, ya que desconocen como se comportarán otras variables ajenas a su control (“Estado de la Naturaleza”). En segundo lugar advierte sobre el falaz “comportamiento competitivo” que implica, entre otras cosas, la ausencias de negociación entre los agentes que participan en los intercambios de bienes y factores. En tercer lugar, los agentes, por la ausencia de certidumbre, se ven en la situación de formarse expectativas sobre la evolución de los mercados, lo cual afecta a la “deseabilidad” de las distintas combinaciones de bienes.

Partiendo del Gráfico 6, tomado de Morgenstern (1972), podemos ilustrar cómo la certidumbre y las expectativas resultan determinantes en la configuración de las preferencias. El Gráfico 6 es lo más parecido a la “colina el placer” presentada por Pareto: todos los puntos de cada Curva de Indiferencia son indiferentes para el individuo y hay sucesivas curvas de indiferencia en medio de las cuales existe una combinación óptima (punto ) que proporciona al individuo la máxima utilidad (“ofemalidad”). El Gráfico 6 ocupa un lugar central en la Teoría de la demanda dominante.

Para Morgenstern este diseño lógico ofrece varios problemas.

En primer lugar debemos fijar un criterio en relación con la posibilidad de “eliminación gratuita”: existe “eliminación gratuita” cuando un agente puede desprenderse de parte de su asignación sin coste alguno.

Supongamos que sí existe eliminación gratuita. En este caso la asignación “A” y la asignación “E” no pertenecen a la misma curva de indiferencia: podríamos renunciar (sin coste) a una fracción del bien , mantener la dotación de , y situarnos en una asignación como “D”, perteneciente a una curva de indiferencia más elevada que . En realidad eso sucede con cualquier combinación de bienes que esté por encima de “E”. Y otro tanto sucede con las combinaciones “a la derecha” de “M”, como por ejemplo el punto “B”: renunciando a una fracción de accedemos a una curva de indiferencia más elevada. En este mundo no existen los “males”, no existe la “saturación” y trabajamos con un mapa de preferencias como Gráfico 7 en vez de Gráfico 6. Pero en el mundo real esto no es así: como decíamos más arriba, al tratar en detalle la axiomática, la saturación existe.

En segundo lugar, los agentes pueden esperar la existencia de un mercado en el que intercambiar cantidades de por cantidades de (o viceversa) a alguna tasa determinada, es decir, existen expectativas de intercambio. En tal caso ni siquiera podemos asegurar que las combinaciones “E” y “C” sean indiferentes entre sí, con lo que las curvas diferencia contenidas en el Gráfico 7 quedarían reducidas a su mínima expresión… a nada. Si el sujeto espera que exista un mercado en el que cambiar una fracción de por una cantidad suficientemente elevada de , puede preferir el punto “E” al “C”: con el intercambio esperado abandonará “E” y esperará alcanzar asignación situada en una curva de indiferencia mayor que (que contiene a “C”). Pero si los puntos “E” y “C” no están en la misma Curva de Indiferencia, entonces no existe la curva EC ni otras análogas.

¿Tiene sentido sostener la Teoría de la Utilidad Ordinal?

Como hemos podido comprobar, la Teoría de la Utilidad Ordinal, en la que se sustenta la Teoría de la Demanda de la Economía convencional, presenta múltiples complicaciones: tiene poca conexión con la realidad, se basa en una axiomática fácilmente refutable por los hechos… ¿Qué sentido tiene sostener la Teoría de la Utilidad Ordinal? ¿Es necesaria para sostener la existencia de las funciones de demanda y poder trabajar con ellas? Como indica Blaug (1985, p. 446) se puede sostener la existencia de una función de demanda de pendiente negativa, como ya sucedía en el siglo XIX (por ejemplo Cournot y Cassel), sin necesidad de recurrir a la Teoría de la Utilidad Ordinal, y si existe cierto empecinamiento en lo contrario es, de acuerdo con la versión de Blaug por la sensación de pérdida de información que supone prescindir de una teoría de las motivaciones del consumidor.

Para sostener la existencia de curvas de demanda de pendiente negativa basta con suponer que el encarecimiento (abaratamiento) de un bien provoca un efecto renta que disuade (estimula) consumos adicionales del bien en cuestión . La cuestión es aún más clara cuando abandonamos el marco competitivo, en el que los sujetos se comportan paramétricamente, y nos referimos a precios negociados (el salario, entre ellos): en palabras de Morgenstern (1972), “las curvas de indiferencia no aportan nada a la solución de la cuestión del origen de estos precios”.

En nuestra opinión, tratar de mantener la vinculación entre utilidad ordinal y Teoría de los Precios tiene beneficios ideológicos para determinados grupos: la utilidad ordinal hace inviable la comparación interpersonal de la utilidad y por tanto deja fuera de juego el tratamiento microeconómico de la redistribución de la renta, conduciendo a un criterio de eficiencia (el de Pareto), bastante estéril.

Bibliografía.

Blaug, M. (1985 ); Teoría Económica en Retrospección, Fondo de Cultura Económica, Madrid.

Debreu, G. (1959); Theory of Value: an Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium; Cowles Foundation for Economic Research in Economics, Yale University [edición en español, “Teoría del Valor”, en Antoni Bosch Editores, Barcelona].

Dobb, M. (1972); Economía del Bienestar y Economía del Socialismo, Siglo XXI Editores, Madrid.

Guerrero, D. (2000), “La Economía Radical y los Debates entre Economistas Ortodoxos y Heterodoxos”, mimeo.

Hildebrand, W. y Kirman, A. P. (1981); Introducción al Análisis del Equilibrio, Antoni Bosch Editores, Barcelona.

Morgenstern, O. (1972); “Trece Puntos Críticos de la Teoría Económica Contemporánea: Una Interpretación”; Journal of Economic Literature, vol X, nº 4, pp. 1163 – 1189 [edición en español en El Trimestre Económico, nº 161, año 1974].

Samuelson, P. (1938 a): "A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour", Economica, NS 5, pp. 61 – 71 .

Samuelson, P (1938 b): "A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour: an Addendum", Economica, NS 5, pp. 353 – 354.

Shubik, M. (1992); Economía Política: un Enfoque desde el Punto de Vista de la Teoría de Juegos; Fondo de Cultura Económica, México.

Veblen, T. (1899); Teoría de la Clase Ociosa; edición en español del año 1974 en el Fondo de Cultura Económica, México.

Villar, A. (1999); Lecciones de Microeconomía, Antoni Bosch Editores, Barcelona.

Von Neumann, J. y Morgenstern, O. (1944); Theory of Games and Economic Behavior; Princeton University Press.