Introducción

En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton lograron uno de los mayores avances en la valuación de opción es hasta ese momento, que es conocido como el modelo de Black-Scholes, que ha tenido una gran influencia en la manera en que los agentes valuan y cubren opción es. Ha sido también un punto de referencia para el desarrollo y éxito de la ingeniería financiera desde entonces. La importancia del modelo fue reconocida cuando Robert Merton y Myron Scholes fueron reconocidos con el Premio Nobel de Economía; desafortunadamente Fisher Black falleció en 1995, quien indudablemente también hubiera recibido el premio.

En este proyecto presentamos el modelo de Black-Scholes para la valuación de una opción call Europea sin pago de dividendos. En primer lugar se mencionan algunas nociones de finanzas y probabilidad, necesarias para una mejor comprensión del trabajo; posteriormente se presenta un modelo para el precio de un activo, el cual ser a necesario para poder formular el modelo; en la siguiente sección se presentan los supuestos y las ideas generales de su deducción y solución en este caso, transformándolo en el problema clásico de la ecuación del calor; por ultimo se analiza brevemente la formula en algunos casos de interés.

Para ver el artículo completo en formato pdf comprimido en zip pulse aquí

Para citar este artículo puede utilizar el siguiente formato:
Duana Ávila, García Juárez y Millán Díaz: "Una nueva propuesta de solución de la Ecuación de Black-Scholes-Merton" en Contribuciones a la Economía, enero 2008 en http://www.eumed.net/ce/2008a/

Finanzas.

Llamaremos activo a cualquier posesión que pueda producir beneficios económicos. Un portafolio es un conjunto de activos, que pueden ser acciónes, derivados, bonos, etc.

En la realidad existen costos para realizar operaciónes financieras. Estos costos de transacción pueden depender de si se trata de una transacción de un activo subyacente o un derivado, de si se trata de una compra o de una venta, etc.

También se usará la llamada tasa de interés libre de riesgo que es aquella de una inversión "segura", libre de riesgo. Esto en la práctica no es del todo errado, ya que si se analizan activos y derivados en cortos períodos de tiempo (por ejemplo trimestres), entonces un bono del estado a veinte años resulta una inversión segura, y hasta es razonable suponer constante la tasa de ese bono en el corto plazo.

Se llama rentabilidad a la ganancia relativa de una inversión , es decir, si llamamos S0 a la inversión inicial, y ST a lo que se obtiene a un tiempo T , la rentabilidad R es: ST - S0 R = S0

Otro concepto es el arbitraje, que es el proceso de comprar un bien en un mercado a un precio bajo y venderlo en otro a un precio más alto, con el fin de beneficiarse con la diferencia de precios. En el caso que nos ocupa, utilizaremos el principio de no arbitraje, es decir, no existe la posibilidad de realizar una inversión sin riesgo y ganar dinero (o por lo menos no m as que invirtiendo con la tasa libre de riesgo). De no ser así, existir a claramente una forma de hacer dinero in nito.

Los hedgers, replicadores o cobertores son aquellos agentes que intentan reducir el riesgo al mínimo y tratan de no exponerse a los cambios adversos de los valores de los activos. En general conforman portafolios con activos en una posición (compra o venta) y algún derivado sobre estos en la otra. Así, si el precio del activo se mueve de manera muy desfavorable, está la opción, por ejemplo, que amortigua la pérdida.

Un mercado eficiente se puede describir mediante dos conceptos:

- Toda la información del activo está reflejada en el precio actual.

- Los mercados responden inmediatamente a cualquier información nueva acerca de un activo.

Un derivado financiero o producto derivado, o simplemente derivado es un instrumento financiero cuyo valor depende de otros activos, como por ejemplo una acción , una opción o hasta de otro derivado. Se llama payoff de un derivado, activo o portafolio al resultado final de la inversión.

Una opción es un contrato que le da al dueño el derecho, pero no la obligación, de negociar un activo predeterminado, llamado también el activo subyacente por un precio determinado K llamado el strike price o precio de ejercicio en un tiempo en el futuro T , llamada fecha de expiración.

Una opción call da al dueño el derecho a comprar y una put el derecho a vender. La opción se llama Europea si sólo puede ser ejercida a tiempo T. Se llama Americana si puede ser ejercida a cualquier tiempo hasta la fecha de expiración. El payoff de una call es m axfST - K, 0} ya que si ST >K se ejerce a K y se vende a ST , lo que da una ganancia de ST - K.

En el otro caso la opción no se ejerce y el payoff es 0.

El de una put, an alogamente es m axfK - ST, 0g.

El hecho de que uno tenga el derecho y no la obligación es lo que hace difícil la valuación de una opción.

La volatilidad del activo es la desviación estandar de la variación de crecimiento del precio.

Probabilidad.

Se conoce como proceso estocastico a un conjunto de variables aleatorias que dependen de un parametro, por ejemplo el tiempo, es decir, fX(t)jt> 0g.

Un proceso estocastico Z( ) se llama movimiento browniano o proceso de Wiener si:

1. Z(0) = 0.

2. 8t> 0, 8a> 0, (Z(t + a) - Z(t) ~ N(0;a).

3. 8t> 0, 8a> 0, (Z(t + a) - Z(t) son independientes de fZ(s)j0 = s = tg.

Un proceso de Wiener describe la evolución de una variable con distribución normal.

La deriva del proceso es 0 y la varianza es 1 por unidad de tiempo.

Esto significa que, si el valor de la variable es x0 al tiempo 0, entonces al tiempo t es normalmente distribuida con media x0 y varianza t.

Un proceso generalizado de Wiener describe la evolución de una variable normalmente distribuida con una deriva de a y varianza b2 por unidad de tiempo, donde a y b son constantes.

Esto significa que si, como antes, el valor de la variable es x0 al tiempo 0 entonces es normalmente distribuida con media x0 + at y varianza bt al tiempo t.

Puede ser de nido para una variable X en t erminos de un proceso de Wiener Z como dX = adt + bdZ.

Un teorema del calculo estocastico, que ser a fundamental para la deducción de la Ecuación de Black-Scholes es el siguiente:

Teorema 1.

(Lema de ^Ito.) Supongamos que S cumple la siguiente ecuación diferencial estocastica: dS = S dt + S dZ donde Z(t) es un movimiento browniano.

Sea V : R2 .

R una función de clase C2 en su dominio, dada por V = V (S, t), entonces se satisface lo siguiente: @V @V @V 1 @2V (1) dV = S dZ ++ S + 2S2 dt.

@S @t @S 2@S2

ii.Un modelo para el precio de un activo

Para modelar el precio de un activo, es necesario modelar la llegada de nueva información que afecte al precio, bajo el supuesto de que trabajamos en un mercado eficiente, considerando a dicho precio como un proceso estocastico.

El cambio absoluto en el precio del activo no es significativo, sin embargo, si lo es el retorno, que como ya se ha de nido, es el cambio sobre el precio original: ST - S R = .

S Supongamos ahora que en un tiempo t el precio de un activo es S, consideremos un tiempo posterior t + dt, en el cual S cambia a S + dS.

El retorno de un activo es entonces dS .

El modelo mas comun para modelar este retorno se descompone S en dos partes.

Una parte es el retorno determinista similar al retorno libre de riesgo.

Esta contribución la podemos plantear como dt donde µ es una medida del crecimiento promedio del precio del activo.

La otra parte modela la aleatoriedad en el cambio del precio de S, en respuesta a los cambios externos, como noticias inesperadas.

Se representa como un muestreo aleatorio obtenido de una distribución normal con media 0 y agrega al retorno el termino dX donde s es la volatilidad, que mide la desviación estandar de los retornos y dX es un movimiento browniano.

Juntando los dos terminos, obtenemos la ecuación diferencial estocastica: (2) dS = dt + dX.

S Hay que notar que de no existir el segundo termino, cuando s = 0, tendramos la ecuación dS = dt S que da como solución el crecimiento exponencial en el valor del activo (t..t0) S(t)= S0e donde S0 es el precio inicial y t0 es el tiempo inicial.

Ahora usaremos el Lema de ^Ito para deducir el proceso seguido por ln S cuando satisface la ecuación (2).

Definamos V (S, t) = ln S, con lo que se obtienen las derivadas @V @S = 1 S , @2V @S2 = - 1 S2 , @V @t = 0 Como suponemos que V satisface el Lema de ^Ito, entonces 1 .

2S2 dt = dZ +(µ - 2=2)dt dV = Ss dZ + S - SS 2 S2 con µ y s constantes, por lo que esta ecuación indica que V = ln S sigue un proceso de Wiener genealizado con tasa de deriva µ - 2 y varianza 2, ambas constantes.

El cambio en ln S entre el tiempo cero y el tiempo T es, por lo tanto, una 2 distribución normal con media µ - 2=2 T y varianza 2T.

Esto significa que ln ST ~ N ln S0 + µ - 2=2 T; 2T donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y S0 es el precio inicial del activo.

Esta ecuación nos muestra que ln ST tiene distribución normal.

Una variable tiene distribución log normal si el logaritmo natural de esta variable est a normalmente distribuido.

iii. Deducción de la Ecuación de Black-Scholes-Merton

Ahora veremos la ecuación que modela cualquier derivado financiero en la forma continua.

Enunciaremos los supuestos que vamos a requerir en el modelo: El precio de un activo sigue un proceso de Wiener log-normal: dS = S dt + S dZ La tasa de inter es libre de riesgo r y la volatilidad s del activo se suponen constantes durante el tiempo que dura la opción.

No hay costos de transacción asociados a la cobertura del portafolio.

El activo subyacente no paga dividendos durante la vida de la opción.

No hay posibilidad de arbitraje.

La ausencia de arbitraje significa que todos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno.

La compra y venta del activo puede tomar lugar continuamente.

La venta y los activos son divisibles.

Asumimos que podemos comprar y vender cualquier numero (no necesariamente entero) del activo subyacente y que est a permitido vender aunque no tengamos posesión , es decir, se trata de un mercado completo.

Sea V (S, t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando el precio del activo subyacente es S> 0.

Construiremos un portafolio P libre de riesgo de la siguiente manera .

unidades del activo (compra) P = .

1 derivado (venta) cuyo valor es u = Su - Vu cuando el valor del activo sube, y d = Sd - Vd cuando el valor del activo baja.

La estrategia es igualar u a d, es decir, encontraremos un.

tal que el portafolio tenga riesgo 0.

Entonces, al igualar nos queda Su - Vu = Sd - Vd, es decir Vu - Vd V = = ; Su - Sd S lo que tomando el l mite cuando S .

0 resulta @V = ; @S que es la variación del valor del derivado con respecto a S y es una medida de correlación entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.

En general, el valor del portafolio es .

= S - V , con lo cual d = dS - dV = (S dt + S dZ) - dV.

Suponemos que V también cumple los supuestos enunciados anteriormente, por lo que satisface las hipotesis del Lema de ^Ito, as i que tenemos una expresión para dV de (1): @V @V @V 1 @2V dV = S dZ ++ S + 2S2 dt; @S @t @S 2@S2 de donde obtenemos la ecuación @V @V @V 1 @2V d = S dt + S dZ - S dZ - + S + 2S2 dt.

@S @t @S 2 @S2 Separando la parte determin stica de la estocastica resulta 5 d.

= .

S - S @V @S .

dZ + .

S - @V @t - S @V @S - 1 2 2S2 @2V @S2 .

dt, y sustituyendo .

= @V obtenido anteriormente, la ecuación queda unicamente determin stica @S @V 1 @2V (3) d = - + 2S2 dt.

@t 2 @S2 Adem as, por la hip otesis de no arbitraje, como P es un portafolio libre de riesgo tenemos que su retorno es igual al de un bono de tasa r d (4) = rdt .

d = rdt: .

Igualando (3) y (4) llegamos a @V 1 @2V rdt = - + 2S2 dt.

@t 2 @S2 @V Simpli cando dt y sustituyendo .

= S - V = S - V , nos queda @S @V @V 1 @2V Sr - Vr = ..- 2S2 .

@S @t 2 @S2 Finalmente, despejando rV , llegamos a la ecuación de Black-Scholes: @V 1 @2V @V (5) + 2S2 + rS = rV.

@t 2 @S2 @S

iv.Solución de Black-Scholes de la ecuación 

Obtendremos la solución de la ecuación de Black-Scholes para el caso de una opción call europea sobre un activo de precio S con precio de ejercicio K y tiempo de expiración T .

En este caso llamaremos V = C, la ecuación (5) resulta @C 1 @2C @C 2S2 @t 2 @S2 @S con las condición es de frontera C(0;t)=0;C(S, t) ~ S si S !8 ++ rS - rC =0.

ya que cuando el precio del activo es nulo, también debe serlo el de la opción (es claro que no se va a ejercer).

Y cuando el precio tiende a in nito S - K se va a aproximar a S.

También recordemos la condición nal, es decir, el payoff de la opción C(S, T ) = m axfS - K, 0g.

Con todo lo anterior, podemos describir el modelo de la siguiente manera: .

@C 1 @2C @C + 2S2 + rS - rC =0:S .

(0, 1);t .

[0;T ) @t 2@S2 @S .

>>>>>>>>> .

C(S, T ) = m axfS - K, 0} S .

(0, 1) (6) C(0;t)=0 t .

[0;T ) .

>>>>>>>>> .

C(S, t) ˜ St .

[0;T );S !8 Nos concentraremos en las dos primeras ecuación es de (6), pues posteriormente veremos que las ultimas dos, que describen el comportamiento de C en los bordes, también se van a satisfacer.

Entonces nuestro modelo queda como sigue: .

.

>>.

.

>>.

@C 1 @2C @C + 2S2 + rS - rC =0:S .

(0, 1);t .

[0;T ) @t 2@S2 @S C(S, T ) = m axfS - K, 0} S .

(0, 1) (7) Para resolver esta ecuación , hagamos primero los cambios de variables S 1 C(S, t) x = ln ;t (t)= 2(T - t);v(x, )= ; K 2 K es decir 2 (t) S = Kex ;t = T - ;C(S, t)= Kv(x, ).

2 Reemplazando, las derivadas parciales quedan: @2C @2 v @C 1 @v @C K@v K @v 2K + = - , = , = - : 2 @S2 S2 @x2 @t @t @S S@x @x Como (T ) = 0, también tenemos una condición inicial para v a partir de la condición nal de C: C(S, T )= Kv(x, 0) = m axfKex - K, 0g.

v(x, 0) = m axfe x - 1, 0} que resulta una condición inicial.

El modelo (7) queda como .

.

>>.

1 @v 1 @v 1 @2v @v 2 = - 2 + 2 + r x .

R;t .

0;T 2=2 - rv 2 2 2 @x2 @t @x @x .

>>.

v(x, 0) = m axfex - 1, 0} x .

R 2r y si llamamos k = 2 el modelo queda como .

.

>>.

@v @2v @v 0;T 2=2 = +(k - 1) - kv x .

R;t .

@t @x2 @x (8) .

>>.

v(x, 0) = m axfex - 1, 0} x .

R Hagamos un ultimo cambio de variables.

Proponemos x+ t v(x, )= eu(x, ) con a y ß par ametros a determinar.

Las derivadas parciales de v resultan @v @u @v @u x+ t x+ = e x+ t = e x+ t u + e, u + e; @x @x @t @t @2v @u @2u x+ t x+ = 2 eu +2 e x+ t + e; @x2 @x @x2 x+ sustituy endolas en la primera ecuación de (8) y simpli cando el t ermino ellegamos a @u @u @2 u @u = 2 u +2a +(k - 1) u + + u + - ku.

@x @x2 @t @x Ahora elegimos a y ß para que se anulen los coe cientes que multiplican a u ya @u , es decir @x ß = 2 +(k - 1)a - ky 0=2a +(k - 1).

..k..1 ..(k+1)2 Al resolver el sistema de ecuación es, resultan a =y ß = .

Con esta elección de par ametros la primera 24 ecuación de (8) queda @u @2u = @t @x2 cuya condición inicial resulta u(x, 0) = v(x, 0)e 1 (k..1)x = m axfe x - 1, 0ge 1 2 (k..1)x = m axfe 1 2 (k+1)x - e 1 2 (k..1)x , 0g; 2 con lo cual, mediante cambios de variable, pasamos de (8) al modelo .

@u @2u .

.

.

>>= x .

R;t .

0;T 2=2 @t @x2 (9) .

>> .

11 2 (k+1)x - e 2 (k..1)x u(x, 0) = u0(x) = m axfe , 0} x .

R Esta es la ecuación del calor, que tiene varias formas conocidas de solución.

La solución est a dada por .

1 1 - (x..s)2 4r u(x, )= v u0(s)e ds 2 t ..8 que es la convoluc on entre la condición inicial y la solución fundamental de la ecuación del calor.

Evaluemos la integral v s..x haciendo el cambio .

= v , es decir, s = .

2t + x, con lo que resulta 2t .

8 p 1 - 1 2 !2 u(x, t )= v u0(.

2t + x)e d.

2p ..8 .

8 v v = v 1 m axfe 1 2 (k+1)(.

2 +x) - e 1 2 (k..1)(.

2 +x), 0ge - 1 2 !2 d!.

2p ..8 Para eliminar el m aximo, haremos uso de lo siguiente: 11 2 (k+1)s - e 2 (k..1)s = 0 e 11 2 (k+1)s = e 2 (k..1)s .

e k +1 k - 1 .

s = s 22 .

s = 0, v x por lo cual el integrando no ser a nulo cuando .

2t + x = 0, es decir, si .

= ..v , por lo que la solución queda como 2t .

8 .

1 1 v 1 v 2 (k+1)(.

2 +x)- 1 2 !2 2 (k..1)(.

2 +x)- 1 2 !2 u(x, )= v e 1 e d.

..v e 1 e d!.

2p - 2p - px px 2t 2t Llamemos I1 e I2 a cada una de las integrales anteriores.

Haremos los c alculos para la primera pues ser an an alogos los de la segunda.

Sacando del integrando el t ermino que no depende de .

y juntando las exponenciales .

8 .

1 v p 1 1 - 1 1 11 2 (k+1)(.

2 +x)2 !2 2 (k+1)x 2 (k+1)(.

2 )- 2 1 !2 I1 = v e ed.

= v e e d!.

2p - px 2p - p x 2t 2t Completando cuadrados en el exponente tenemos .

8 11 1 v 2 (k+1)x 4 (k+1)2 - 1 2 (!- 2 1 (k+1) 2 )2 I1 = v e e d!.

2p - px 2t Sacamos el t ermino que no depende de .

y sea 1 v .

= .

- (k +1) 2 2 con lo cual, haciendo el cambio de variable nos queda .

8 11 1 2 (k+1)x+ 4 (k+1)2t - 2 1 2 I1 = e v v e d .

x 2p - v - 2 1 (k+1) 2 2t Si de nimos x 1 v d1 := v +(k +1) 2t 2t 2 la integral resulta .

8 11 11 1 2 (k+1)x+ 4 (k+1)2t - 1 2 2 2 (k+1)x+ 4 (k+1)2 I1 = e v e d.

= e t N(d1) 2p ..d1 donde N( ) es la función de probabilidad de la distribución Normal est andar .

d1 1 - 1 2 s 2 N(d1)= v e ds.

2p ..8 El c alculo para I2 es id entico al de I1, reemplazando (k - 1) por (k + 1) en todo el an alisis.

Es decir, resulta 2 (k..1)x+ 4 (k..1)2 I2 = e 11 t N(d2) con v d2 := v +(k - 1) 2 , x 1 2t 2 as i que tenemos una f ormula expl cita para u(x, t ) dada por 11 11 2 (k+1)x+ 4 (k+1)2 2 (k..1)x+ 4 (k..1)2 u(x, t )= e t N(d1) - e t N(d2).

Ahora volveremos a cambiar las variables para obtener una expresión para C(S, t).

En primer lugar, ten amos que 2 (k..1)x- 1 4 (k+1)2t ..kt N(d2): v(x, )= e - 1 u(x, )= e xN(d1) - e Usando que x = ln.

S K .

, (t) = 1 2 2(T - t), v(x, ) = C(S, t) K , k = 2r 2 , llegamos a C(S, t) K = e ln( S K )N(d1) - e - 2r 2 1 2 2(T ..t)N(d2), que, simpli cando, se transforma en la f ormula de Black-Scholes: (10) C(S, t) = SN(d1) - Ke..r(T ..t)N(d2) .

SS +(r + 1 +(r - 1 ln 2)(T - t) ln 2)(T - t) K 2 K 2 (11) d1 = v d2 = v .

T - t T - t Es importante notar que cuando el valor de la volatilidad s y la tasa de retorno r son conocidas o asignadas previamente, el valor de la opción queda completamente determinado.

En la siguiente sección se presenta el an alisis del resultado obtenido.

v. Análisis de la formula de Black-Scholes-Merton 

Iniciaremos nuestro análisis corroborando que se satisfacen las dos ultimas ecuación es de (6), aquellas que describen el comportamiento en la frontera y son los casos extremos.

1.

La primera describe el comportamiento cuando S = 0, es decir C(0;t)=0 t .

[0;T ).

S Notemos que, como en las expresión es para d1 y d2 aparece ln , tomaremos el l mite cuando S .

0, resultando K que S .

0 .

d1;d2 !..8 .

N(d1);N(d2) .

0, con lo que resulta C(S, t) .

0 cuando S .

0.

2.

La segunda era el comportamiento de C cuando S !1, C(S, t) ˜ St .

[0;T );S !1.

Un an alisis similar al anterior nos dice que S !8 .

d1;d2 !8 .

N(d1);N(d2) .

1, con lo cual resulta que C(S, t) ˜ S - Ke..r(T ..t) ˜ S.

Recordemos, por otra parte, que se llego a la formula construyendo un portafolio libre de riesgo, por medio de la estrategia -hedging, y como vimos anteriormente, el .

es de suma importancia para neutralizar el riesgo del portafolio, expresado como .

= @C .

Derivando la ecuación (10) con respecto a S obtenemos @S @d1 @d2 = N(d1)+ SN0(d1) - Ke..r(T ..t)N0(d2) .

@S @S De las expresión es para d1 y d2 en (11) obtenemos @d1 @d2 1 == v @S @S Ss T - t por lo cual SN0(d1) - Ke..r(T ..t)N0(d2) = N(d1)+ v Ss T - t y a rmamos que SN0(d1) - Ke..r(T ..t)N0(d2)=0, lo que es equivalente a veri car que N0(d1) K ..r(T ..t) = e.

N0(d2) S Notemos que p1 ..

e 12 d 21 N0(d1) 1 2 (d 21 ..d 22 ) 2p ..

(12) = = e : 12 d 22 ..

N0(d2) p1 e 2p Por otra parte, de las expresión es para d1 y d2 obtenemos que v d1 - d2 = T - t y S ln r v K d1 + d2 =2 v +2 T - t, T - ts por lo que S v ln r v S K d2 1 - d2 =(d1 - d2)(d1 + d2)= T - t 2 v +2 T - t =2ln +2r(T - t): 2 T - ts K Usando lo anterior en (12) llegamos a N0(d1) 2 ln( S )+2r(T ..t) K ..r(T ..t) = e K = e; N0(d2) S que es lo que quer amos probar.

Por ultimo, podemos concluir que = N(d1).

Comentarios finales

El Modelo de Black-Scholes-Merton intenta responder a la pregunta: >Cu al es el precio de una opción ? El exito que ha tenido al responder esta pregunta parece re ejar su apego a situación es reales; sin embargo, como todo modelo matem atico, este es simpli cado por algunos supuestos.

En este caso es natural preguntarse si la volatilidad y la tasa de retorno son constantes, si el cambio en los precios sigue una distribución log-normal o no considerar costos de transacción , entre otros.

La importancia del modelo radica en que ha servido como base para posteriores modi cación es y adaptación es que concuerdan con los hechos, y que ha sido usado para valuar otro tipo de derivados, como bonos y contratos forward; también ha sido generalizado al considerar costos de transacción.

Este proyecto también ha sido un intento por mostrar que no debemos cerrar nuestros horizontes a otras areas, pues, como hemos visto, la matem atica, la f sica y las nanzas, que parecer an no tener alguna relación entre ellas, se han fundido excepción almente en este modelo.

Referencias

[1] Capi nski M. y Zastawniak T., Mathematics for Finance. Springer, (2005).

[2] Hull J., Optión s, Futures and other Derivates. Prentice Hall, (2000).

[3] Nielsen L. T., Pricing and Hedging of Derivate Securities. Oxford University Press, (1999).

[4] Ibarra Valdez, C. Dos demostración es de la F ormula de Black-Scholes. Departamento de Matem aticas, UAM, Iztapalapa, M exico (2007).

[5] Strichartz R. S., A guide to Distributión Theory and Fourier Transforms. World Scienti c Publishing, (2003).

[6] Shah A., Black, Merton and Scholes: Their work and its consequences. Indira Gandhi Institute of Development Research.

Bombay, India (1997).

http:www.mayin.org/ajayshah/PDFDOCS/Shah1997_bms.pdf [7] Kim M., Financial Mathematics.

Queen's University, Belfast, U.K. (2004).

http://web.am.qub.ac.uk/users/m.s.kim/lectures.htm