"Contribuciones a la Economía" es una revista
académica con el
Número Internacional Normalizado
de Publicaciones Seriadas
ISSN 16968360
Antonio Mora Plaza (CV)
Resumen: Este artículo viene a cuento sobre algunas de las
cuestiones planteadas en la última parte del publicado en el
número de JUNIO 1995 de la revista INVESTIGACIÓN Y CIENCIA con
el título de BREVE HISTORIA DEL INFINITO y, simultáneamente,
cuestiona modestamente algunos de los paradigmas más
consolidados de la matemática del infinito. De hecho en la
primera parte se plantea un método de recuento de los números
reales que resulta contradictorio con la consideración
cantoriana del conjunto de los números reales como conjunto no
enumerable (al menos desde algún punto de vista); en la segunda
se aborda lo que llamaríamos el de "la inconsistencia del método
de Cantor", para pasar a la última parte -junto con las nota 4-
donde se hacen algunas consideraciones e implicaciones del
abandono del paradigma. El fin último del artículo es señalar el
grado de insatisfacción que nos encontramos los que nos
acercamos desde otras disciplinas a los fundamentos de las
Matemáticas.
Abstract: This article emerge as answer to some the questions
raised in the last part from the published one in the number of
JUNE 1995 of the magazine INVESTIGACIÓN Y CIENCIA (Scienfic
American) with the title of BREVE HISTORIA DEL INFINITO (Brief
history of the infinite) and, simultaneously, modestly, make
questions of the some consolidated paradigms about of the
infinite mathematical. In fact in the first part is proposed a
method of count of reals numbers that is contradictory with the
“cantoriana path” consideration of the set of the reals numbers
like non-enumerable set (at least from some point of view); in
second it is approached what we would call the one of “the
inconsistency of the method of Cantor”, to ending the last part
-together with them note 4 - where become some considerations
and implications of the abandonment of the paradigm. The last
aim of the article is to indicate the dissatisfaction degree
that we were those that we approached from other disciplines
about the foundations of the Mathematics.
Para citar este artículo puede utilizar el siguiente formato:
Mora Plaza, A. : “¿Y si Cantor estuviera equivocado?" en Contribuciones a la Economía, agosto 2007. Texto completo en http://www.eumed.net/ce/2007b/amp-cantor.htm
Puede bajarse el texto completo del artículo en formato PDF pulsando aquí
Se ofrece a continuación parte del texto del artículo, pero sin
notas ni fórmulas.
¿Y SI CANTOR ESTUVIERA EQUIVOCADO?
Entramos en harina y partimos de un subconjunto finito de números racionales
comprendido entre cero u uno definidos por la expresión:
siendo "a,b,c, .... ,h" cualquiera de los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, y "s"
cualquier número natural. Por otro lado un número real “R(s)” comprendido
entre cero y uno podría ser:
Esta definición de número real es equivalente al obtenido por el método de
las cortaduras de Dedekind -método asentado para definir los números reales-
y nos va a permitir pasar de un número racional a un número real con suma
facilidad. Un ejemplo: del número racional 3/8 (=0,375) pasamos al número
real "0,375000.....0", sin más que añadir un número infinito de ceros a la
derecha del 5 [ver nota 1].
Partamos de un número de racional "Q(s)" tal que "s"=10 y en el que haya
intervenido en su composición al menos una vez los primeros 9 números
naturales y el cero. El número más pequeño que podemos formar con estos
requisitos es el "0,0123456789" que llamaremos "menor Q(10)" -lo siento,
otra definición-. Obviamente todos los números racionales comprendidos entre
cero y el número "menor Q(10)" con 10 dígitos a la derecha de la coma forman
un conjunto finito y por tanto numerable.
A partir de "menor Q(10)" invito a meditar sobre el "conjunto de todos los
números racionales mayores (o igual) que el número menor Q(10)". ¿Es
enumerable este segundo conjunto?. Sabemos por Cantor que el conjunto de los
números racionales -todos, no sólo los comprendidos entre cero y uno- es
enumerable, por lo que contamos con la ventaja de conocer la respuesta.
¿Entonces porqué buscar una meta conocida? ¿No ocurre a veces que al cambiar
de sendero nos encontramos con nuevos interrogantes, caminos desconocidos,
inusuales perspectivas?.
Preguntémonos ahora cuántos números racionales comprendidos entre cero y uno
de longitud "s" -es decir, de longitud genérica- podemos formar de tal
manera que intervengan al menos una vez los 9 primeros números naturales y
el cero. Aquí podemos recurrir a la combinatoria: la respuesta es 10s
(variaciones con repetición de 10 elementos tomados de "s" en "s"). ¡Y no se
olvide que 10s es un número natural! [ver nota 2].
Llamemos ahora “Q(s+1)” -¡horror, otra definición!- a "cualquier número
racional mayor que cero y menor que uno de longitud "s" -es decir con "s"
dígitos a la derecha de la coma- y en el que haya intervenido en su
composición al menos una vez los 9 primeros números naturales y el cero. Si
ahora aumentamos la longitud de “Q(s,10)” en una unidad -pasamos de "s" a
"s+1"- es el momento de preguntarnos cuántos números de tipo “Q(s+1)”
podremos formar. La respuesta es 10s+1, es decir, tantos números racionales
como variaciones con repetición existen a partir de 10 elementos -los 9
primeros números naturales y el cero- tomados de "s+1" en "s+1". Nada nos
impide hacer lo propio con "s+2", con "s+3", y así sucesivamente, para
calcular -y contar- todos los números racionales (entre cero y uno) que se
pueden formar empleando "s+1", "s+2", "s+3", etc... dígitos.
Veamos a modo de resumen el siguiente esquema:
longitud tipo de número números formados
s Q(s,1o) 1os
s+1 Q(s+1,1o) 1os+1
s+2 Q(s+2,1o) 1os+2
Generalicemos para así pasar a un número de tipo "Q(s+u,10)" -siendo "u"
cualquier número natural- y construir (y contar) el conjunto de los números
de tipo "Q(s+u,10)" de longitud "s+u" -racionales mayores que cero y menores
que uno- en los que intervienen al menos una vez los 9 primeros números
naturales y el cero. Para ello hemos necesitado 10s+u números naturales.
¡Paciencia que llegamos al final!. ¿Preguntémonos que ocurriría si
hiciéramos tender "u" a infinito? Simplemente que abandonaríamos el terrenal
conjunto de los números racionales -donde sólo nos podía guiar en nuestro
peregrinaje el noble Virgilio, "padre dulcísimo"- y alcanzar así el Paraíso
de los reales -donde descubre su rostro Beatriz, "esplendor de viva luz
eterna"-, al mismo tiempo que haríamos infinita la expresión 10s+u con "u"
disparado al infinito. Por mucho que aumentáramos "u" en Q(s+u,10) siempre
podríamos hacer lo propio en 10s+u, sin salto alguno, sin discontinuidad,
incluso cuando "u" tendiera a esa cosa que llamamos infinito. ¡Y sin embargo
y por grande que fuera "u", 10s+u sería siempre un número natural!
UN MÉTODO DISCUTIBLE
El método de la diagonal de Cantor para demostrar la no enumerabilidad de
los números reales -que aquí ponemos en duda- es muy conocido y de una gran
sencillez. El ejemplo más simple posible consiste en relacionar
sucesivamente el subconjunto (infinito) de números reales -convertidos a
base 2 para mayor comodidad- comprendidos entre cero y uno, con el conjunto
de los números naturales de la forma que sigue:
números naturales números reales
1 o,1o1oo1......
2 o,oo111o......
3 o,111oo1......
4 o,o11o1o......
..... ……...............
n o,o1o11o......
Una vez que todos los números reales comprendidos entre cero y uno -o si se
quiere, sólo los irracionales, es decir, aquellos números de infinitos
dígitos a la derecha de la coma que no son iguales al cociente de dos
números enteros- se han escrito y puesto en correspondencia con el conjunto
de los números naturales, es decir, una vez contados, podemos construir un
número real como el que sigue:
o,o1o1.....
que difiere del primer número real en el primer dígito, del segundo real en
el segundo dígito, del tercer real en el tercer dígito (infinito potencial),
y así sucesivamente hasta el infinito -de lo contrario el pobre sólo sería
racional-. Tenemos pues un nuevo número real que no habíamos escrito a pesar
de haberlo intentado denodadamente en un principio.
Por el método expuesto en la primera parte del artículo -aunque en nuestra
más común base 10- procederíamos de la siguiente manera. El primer número a
contar sería el cero:
números naturales números reales
1 o
a continuación aumentaríamos en una unidad la longitud de los números
-racionales por el momento- que vamos a contar y pasaríamos a relacionarlos
uno tras otro sin importar el orden:
números naturales números racionales
(por el momento)
1 o,oo
2 o,o1
3 o,1o
4 o,11
Comprobamos que cuando sólo disponíamos de un dígito (el cero) sólo éramos
capaces de formar un número racional. Ahora que tenemos 2 dígitos (el cero y
el uno) podemos crear 4 (es decir 22).
Cruzado el Rubicón del "menor número que se puede formar con dos dígitos"
-que es el número o,o1 asignado al número natural 2- nos disponemos a
alargar en una unidad la longitud de los números racionales que vamos
construyendo y nos adentramos en los racionales distintos que se pueden
formar con 2 dígitos tomados de 3 en 3.
números naturales números racionales
1 o,ooo
2 o,oo1
3 o,o1o
4 o,1oo
5 o,1o1
6 o,o11
7 o,11o
8 o,111
que son justamente 23; para los de longitud 4 tendríamos 16=(24). Siguiendo
con este procedimiento para números racionales de longitud "n" -siendo "n"
cualquier número natural- tendríamos 2n números racionales (y 2n es un
número natural por grande que sea "n"). Construidos pacientemente todos los
números racionales para "n" tan grande como se quiera -aunque no infinito-
haríamos tender "n" a infinito para darnos de bruces con el "Paraíso de los
reales", usando de la misma paciencia que demuestra el método de Cantor al
relacionar todos los reales, pero con la seguridad de que no nos hemos
dejado ni repetido ninguno por el camino.
Si en lugar de dos dígitos distintos - el 0 y el 1- empleamos tres dígitos,
a saber, el 0, 1 y 2, para los números de longitud 1 tendremos 3 números: el
0,0; el 0,1 y el 0,2. Para los de longitud 2 tendríamos 9 números, es decir,
variaciones de 3 elementos tomados de 2 en 2. Para los de longitud 3, 27
números, y en general, el número de números mayores cero y menores que uno,
de longitud “n”, formados con tres dígitos serían 3n.Y, en general, cuando
utilicemos los diez dígitos -del 0 al 9- de nuestro vulgar sistema de
numeración, obtendremos 10n números racionales de longitud “n”. Sólo cuando
“n” aterriza en el infinito podemos hablar de números reales . Por ello
podemos escribir que el total de números reales es igual a:
DOS MÉTODOS EN UNA SOLA DEMOSTRACIÓN
Parece un lugar común ejemplarizar el criterio del infinito actual por medio
de la diagonal de Cantor sin advertir – en mi opinión- que al crear un
número que no estaba en la diagonal por el método de cambiar los números que
nos encontramos a su paso, no sólo empleamos un método –el mencionado del
infinito actual- sino dos. Es verdad que cuando se postula que se nos ha
dado –impuesto como Moisés a los judíos con los diez mandamientos- la ristra
de números reales mayores que cero y menores estamos inmersos en el infinito
actual. Sin embargo, cuando nos lanzamos a permutar ceros por unos y unos
por ceros –en el sistema binario, pero lo mismo vale para cualquier sistema
de numeración- debemos proceder a examinar cada número de la ristra infinita
y comprobar cuál es el dígito que debemos cambiar en función del lugar que
ocupa el número en el “listado” cantoriano. Es decir empleamos un método
constructivo para crear un número, porque el número que queda tras la
permuta es distinto del que había en su lugar. Y esto sólo lo puedo entender
y justificar bajo el criterio del infinito potencial.
Quizás tampoco se ha reparado que con el criterio del infinito actual podría
ocurrir que tuviéramos un “listado” infinito de números pero con un número
finito de números distintos, porque con este criterio no se puede distinguir
unos de otros, cosa que podemos solventar con criterios constructivos
adecuados. Pero pasemos por alto a modo de licencia poética este último
punto.
DIAGONAL, SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÁLCULO DE VARIACIONES
Llegado a este punto surge una nueva perspectiva -el fondo del argumento es
el mismo- sobre la no enumerabilidad de los reales. Veamos: cuando avanzamos
en nuestra diagonal se nos abre la posibilidad de obtener 9 números
distintos por cada escalón que descendemos porque dado un dígito del peldaño
de nuestra escalera podemos cambiarlo por cualquiera de los 9 dígitos
distintos que forman el sistema de numeración de base 10. De ello se
desprende que para un número racional de longitud genérica "n" podemos
obtener 9n números distintos.
Rebajemos en un dígito nuestro sistema de numeración y convirtamos todos los
racionales de longitud finita -reales en el infinito- de nuestra diagonal a
un sistema de numeración de base 9. Ahora sólo disponemos de 9 dígitos
distintos -0,1,2,3,4,5,6,7,8- y llamemos “conjunto de posibilidades” al
conjunto de todos los números racionales que se pueden crear al cambiar el
dígito que avistamos en la diagonal por otro distinto. Para números de
longitud “n” tenemos “9n” números para este “conjunto de posibilidades”.
No nos detengamos. Para los números racionales convertidos a un sistema de
numeración de base 8 obtenemos 7n distintos de los de la diagonal, y así
podemos avanzar hasta llegar a los de ... base 2. Y aquí nos detenemos y nos
hacemos la siguiente pregunta: ¿cuántos números distintos podemos formar
sustituyendo los dígitos -sólo tenemos dos posibles: el cero o el uno-
ubicados en nuestra descendiente escalera?. La respuesta es UNO. Poco a
poco, paso a paso, se nos ha esfumado todos los números alternativos que
surgían al sustituir en nuestra diagonal el dígito que avistábamos por otros
dígitos. Al final sólo nos han quedado “1n” números alternativos para este
“conjunto de posibilidades” cuando el número de números formados de longitud
“n” es 2n en el sistema binario. ¿Dependerá el Paraíso de los transfinitos
de nuestros terrícolas sistemas de numeración? Sin embargo y, aunque de
forma pírrica, parecería que los diagonalistas han creado un conjunto de
cardinalidad superior al conjunto de los naturales porque nos faltaría un
número natural para contar todos los reales (los reales relacionados y el
real construido en la diagonal). No hay tal, porque nos hemos guardado bajo
la manga un algún comodín que sacaremos en el momento oportuno. Veamos como
emplearlo, pero primero un punto y a parte.
En la formación -por el método de la diagonal- de todos los posibles reales
hemos obviado que siempre se ha podido formar el número real 0,999...9
(infinitos nueves) en el sistema de numeración de base 10, el número de
0,888...8 (infinitos ochos) en el de base 9,..., etc. hasta el número
0,111...1 (infinitos unos) en el de base 2, que son todos iguales al número
1 (al extremo superior del intervalo en el que siempre nos hemos movido). Y
en general el 0,a999...9, el 0,ab999...9,..., el 0,abc999...9,..., etc.
(siendo a,b,c,...,h cualquier número natural entre cero y ocho). Y los
mismos ejemplos podrían ponerse para los demás sistemas de numeración. Es
decir, cuando pasamos de un subconjunto de los racionales a los reales -al
alargar hasta al infinito la ristra de dígitos a la derecha de la coma- no
sólo no nos faltan números sino que nos sobra al menos uno –en realidad nos
sobran muchos más como luego veremos- para contar el número -único-
construido en la diagonal al permutar ceros por unos y unos por ceros cuando
expresamos nuestros números en el modesto sistema de numeración binario.
Veámoslo de otra manera. Imaginemos que estamos justo en el momento en el
que poseemos “n” números racionales de longitud “n” comprendidos entre cero
y uno antes de proceder a lanzar “n” al infinito y nos preguntamos cuántos
números podemos formar al sustituir el primer dígito del primer número por
otro distinto que no sea el 9, el segundo dígito del segundo número con el
mismo criterio y así indefinidamente. Es evidente que al hacer el cambio en
el primer número nos quedan 8 dígitos –los primeros 9 números naturales más
el cero, menos el número cambiado y menos el número 9 para evitar el
problema “técnico” aludido en el punto y aparte anterior-. Como la longitud
del número es “n”, concluimos que con 10 dígitos –es decir, en el sistema de
numeración de base 10- podemos formar 8n números distintos, es decir,
variaciones con repetición de 8 dígitos distintos de longitud “n”. Ahora
rebajemos nuestro orgulloso sistema de base 10 a uno de base 9. Siguiendo el
mismo razonamiento obtendríamos 7n números distintos cuando su longitud –el
número de dígitos a la derecha de la coma- es “n”. Sigamos. En el sistema de
numeración de base 8 nos salen 6n números distintos. En el de base 7, 5n
números, ..., en el de base 4, 2n, y en el de base 3, 1n –es decir, 1, no
más- y para el de base 2 –nuestro modesto sistema binario- ¡nos hemos
quedado sin ningún número sobrante!. Y si ahora lanzamos “n” al infinito el
resultado es el mismo porque la correspondencia biyectiva no se pierde al
variar el sistema de numeración.
A esta forma de razonar se le pueden hacer varias objeciones de las que
trataré de salir al paso. La primera es la que se está empleando el mismo
exponente “n” –cualquier número natural- para calcular el número de números
de longitud “n” que se pueden formar con distintas bases de numeración. Ello
es cierto, pero se subsana empleando diferentes números naturales para
calcular los números de números de las distintas bases de numeración. Así,
por ejemplo, para calcular el número de números en el sistema binario
equivalente al sistema decimal necesitaríamos un número natural, digamos
“m”, tal que 10n fuera igual a 2m. De hecho se necesitarían –despejando “m”-
el entero más próximo de “n/log102” números naturales. Ahora lanzamos “n” al
infinito –y con ello “m” porque depende de “n” y de una constante- y
solucionado.
Otra objeción sería como sigue: al calcular el número de números que se
pueden obtener con el método de la diagonal hemos eliminado dos números de
10 posibles: el cambiado, obviamente, y el 9, para evitar contar 2 veces
números equivalentes. Pero con ello hemos eliminado una infinidad de números
formados con nueves que no son equivalentes. Subsanemos la cuestión. Cuando
estemos en el sistema de numeración de base 10 formemos 9n números distintos
al sustituir el número que vemos en la diagonal por cualquiera de los otros
9 posibles –ahora incluimos también el mismo número 9-; cuando nos
encontremos en el sistema de base 9, 8n variaciones posibles; en el de base
8, 7n,..., etc. y en el de base 2 sólo nos queda 1n –tal como ocurría en dos
epígrafes anteriores-. ¿Acaso son más los números reales en el sistema
binario –aunque sea uno más- que el conjunto de los números naturales y el
conjunto de los números reales tiene una potencia o cardinalidad superior a
la de los números naturales?. Imaginemos que hemos colocado de forma
inocente el número real siguiente en el lugar “i-ésimo” de acuerdo con la
relación cantoriana de números reales mayores que cero y menores que uno:
i) 0,a1a2...ai-10111...1
i (posición que ocupa el cero)
Este número se caracteriza por:
1) ocupa el lugar “i-ésimo” –como hemos dicho- antes de cambiar a la manera
cantoriana ceros por unos y unos por ceros en la diagonal principal.
2) Hasta el dígito que ocupa la posición “i-ésima” –en este caso es el cero-
los dígitos son indiferentemente cualquier combinación de ceros y unos.
3) Todos los dígitos que ocupan la posición “i-ésima más una” y siguientes
son todos unos sin excepción.
Ahora, con este dígito retenido en la posición “i-ésima” se le hace
corresponder con el “i-ésimo” número natural y se procede al intercambio
cantoriano de ceros por unos y unos por ceros en la diagonal. El número que
queda es el:
i) 0,a1a2...ai-11000...0
i (posición que ocupa el primer uno)
que es equivalente al número:
i) 0,a1a2...ai-10111...1
i (posición que ocupa el primer cero
que es el mismo número del que partíamos. Este último número ocupará su
lugar –no nos importa cual- en la ristra cantoriana de números, por lo que
habrá sido contado o se le contará en otro lugar. Conclusión: al menos nos
sobra un número –en realidad nos sobra una infinidad- para poder contar el
número que por el método cantoriano de la diagonal sale de más. Y todo esto
lo hemos hecho con el mismo criterio de la diagonal y de la mano del
infinito actual
Supongamos que alguien nos tildara de manipuladores o de intervencionistas
con el siguiente argumento: bajo el imperio del infinito actual no podemos
colocar los números en los lugares que nos interesa porque que el conjunto
de los números reales mayores que cero y menores que uno nos viene dado como
un vendaval del que no podemos zafarnos. Mi respuesta sería como sigue:
calcúleme usted cual sería la probabilidad de que en la ristra de números
infinitos no existiera ningún número que, ocupando cualquier lugar en el
“listado infinito”, no tenga un cero en esa misma posición y una ristra
infinita de sólo unos a su derecha. La respuesta es cero porque con
infinitos números, cualquier cosa que pueda ocurrir –por improbable que sea-
ocurrirá necesariamente.
¿UN CONJUNTO SOBRANTE?
Hasta ahora hemos empleado lo que hemos llamado “números equivalentes” de
forma un tanto oportunista para arrimar el ascua a nuestra sardina, pero no
le hemos tomado con la seriedad que merece. De entrada, definimos “número
equivalente” –en nuestro conjunto de números reales mayores que cero y
menores que uno, claro- a cualquier número que a partir de un dígito –sea
cero o uno- el resto de los dígitos a la derecha son unos. Y “conjunto
sobrante”, al conjunto de los números equivalentes. Estos números son los
que están contados de más con el método del infinito actual por ser iguales
a un número en el que hemos sustituido un cero por un uno cuando a la
derecha de ese número aparecía la ristra infinita de unos, a la vez que
hemos permutado esa misma ristra de unos por otra de ceros. Lo mismo que
hacemos cuando en nuestro orgulloso sistema de numeración de base diez se
nos aparece, por ejemplo, el “0,008999...9” y lo sustituimos por el
“0,009000...0”. Y ahora nos hacemos la inocente pregunta: ¿cuál es la
cardinalidad del “conjunto “sobrante” según el criterio de Cantor?.
Imaginemos que hemos colocado el siguiente subconjunto del conjunto sobrante
de la manera que sigue:
1) 0,01111.........1
2) 0,001111........1
3) 0,0001111.......1
….......................
i) 0,00..001111.....1
i (posición que ocupa el último
cero)
..................................
y así indefinidamente ¿Hemos contado todos los números equivalentes?. No,
porque, al cambiar a la manera cantoriana los ceros de la diagonal principal
por unos, nos surge el número:
i) 0,111..........1
que es un número equivalente que no aparecerá nunca en la relación anterior.
Hemos de concluir que la cardinalidad del “conjunto sobrante” es la misma
que la de los números reales contados por el método de Cantor. Con este
criterio, este conjunto sería un “aleph 1” (por usar la terminología al
uso). Y ahora nos preguntamos: ¿cuál es la cardinalidad del “conjunto de
Cantor menos el conjunto sobrante”? La respuesta cantoriana sería un aleph
1. Pero razonemos de la manera siguiente: a partir del conjunto de Cantor de
los números reales hemos dado los siguientes pasos: 1) hemos reducido el
“conjunto de posibilidades” al pasar del sistema de numeración de base 10 a
un único elemento contado de más en el sistema binario. 2) hemos podido
contar este elemento de más al eliminar al menos un “elemento equivalente”
con lo cual ya somos capaces de hacer corresponder el conjunto de los
naturales con los números reales. Es decir, nos ha bastado la cardinalidad
de los números naturales para tamaña empresa. Y esto ha ocurrido tan sólo al
eliminar un elemento equivalente. La conclusión sorprendente y terrible es
la de que la cardinalidad del “conjunto de Cantor menos el conjunto
sobrante” no es un aleph 1. ¿Será entonces un conjunto finito? Tan bajo no
caerá. Veamos el siguiente subconjunto del conjunto de números reales:
1) 0,010101.........
2) 0,0010101.......
3) 0,00010101.....
........................
i) 0,00...010101...
i (posición que ocupa el cero anterior al primer 1)
...............................
que están formados por tantos ceros como el lugar que ocupan y a partir de
ahí por una sucesión de unos y ceros hasta el infinito. Este conjunto es
infinito –nada lo impide-, es numerable –por construcción- y no presenta
ningún término equivalente porque lo hemos evitado con la alternancia de
ceros y unos a partir del cero de turno. Es por lo tanto un “aleph 0”.
DOS MÉTODOS, UN RESULTADO
Quizás haya pasado desapercibido que al contar los números reales en el
sistema de numeración binaria hemos empleado dos criterios de recuento que
dan el mismo resultado pero que no son el mismo. Por el método de Cantor
habíamos concluido que se nos quedaba un número –sólo uno- sin contar al
cambiar ceros por unos y unos por ceros en la diagonal principal (aunque
luego lo hemos arreglado amigablemente). Por el método del cálculo de
variaciones decíamos que por cada número que sustituyéramos en la diagonal
principal –aquí no era necesario tener todos los números en un puño
(infinito actual) sino que los íbamos construyendo con paciencia (infinito
potencial)- podíamos engendrar 9 distintos. Cuando teníamos “n” números
surgían “9n” números distintos, “9n” posibilidades. Pero cuando pasábamos
del sistema de numeración de base “10” al de base “2” sólo nos quedaba “1n”,
es decir, uno. Esto nos lleva a pensar que cuando rebajamos del “conjunto de
Cantor” el “conjunto sobrante”, lo que obtenemos es un conjunto aleph 0 que
puede ser parido por el método del “cálculo de variaciones”. A modo de
resumen quedaría el siguiente esquema:
“CONJUNTO DE CANTOR(infinito actual, aleph 1)” menos “CONJUNTO SOBRANTE
(infinito actual, aleph 1)” igual a CONJUNTO CÁLCULO DE VARIACIONES
(infinito potencial, aleph 0)”
UNA CONSIDERACIÓN FINAL
Imaginemos refutado el teorema de Cantor de la no enumerabilidad de los
números reales. Rota la primera cadena de los transfinitos quedan rotas
todas, por lo que todos los conjuntos infinitos tienen la misma potencia o
cardinalidad (pueden ser puestos en correspondencia con los números
naturales). Tomemos el conjunto de los “n primeros números naturales y el
cero” y preguntémonos cuántos subconjuntos podemos formar con él. Para ello
tenemos que sumar las combinaciones de los "n" elementos tomados de cero en
cero, de uno en uno, de dos en dos, etc., hasta las de "n" en "n". Esta suma
vale 2n (recuérdese el binomio de Newton). El resultado coincide formalmente
con el obtenido al "crear" por nuestro método los números racionales -reales
para "n" infinito-, pero conceptualmente son absolutamente distintos: en el
primer caso tenemos "n" elementos -los "n" números naturales de los que
hallamos todas las posibles combinaciones- y en el segundo son sólo 2 los
elementos distintos -los números cero y uno- que utilizamos en su momento
para hallar las variaciones con repetición de "n" en "n" y así crear los
números racionales -reales para "n" infinito-. Por muy grande que sea "n",
el "conjunto de todos los conjuntos que se pueden formar a partir "n"
elementos vale 2n. Y sin embargo 2n sigue siendo un número natural, incluso
con un "n" arrojado al infinito. Por otro lado y, dada la inobjetable
demostración de Cantor de la mayor cardinalidad del conjunto de todos los
subconjuntos respecto del conjunto original -por ejemplo, los "infinitos
números naturales"- llegamos a una contradicción (al menos desde alguna
concepción filosófica): por el teorema de Cantor el conjunto de los
subconjuntos de los números naturales no es enumerable; por el del "cálculo
de variaciones" siempre dispondremos de 2n números naturales para contarlos
(incluso cuando orillemos el infinito).
Estas contradicciones o paradojas no son nuevas y el intento de
solucionarlas ponen en juego, o bien la definición cantoriana de conjunto
infinito (sobre la que se sustenta la mayor cardinalidad de los subconjuntos
de un conjunto infinito dado), o la existencia del infinito actual (sin el
cual no tiene sentido hablar del límite de cualquier algoritmo como algo que
tenga un valor o existencia actual, sino como la posibilidad de avanzar
indefinidamente, noción de límite, por otro lado, formalizada por Bolzano,
Cauchy y Weiertrass en el siglo XIX basándose en deltas y epsilones y base
del Cálculo diferencial actual) , o bien la no enumerabilidad de los números
reales.
A modo de epílogo querría disculparme por la intromisión de un economista en
el campo de los fundamentos de las matemáticas. No he pretendido decir nada
nuevo que no se haya dicho, bien sea desde una escuela de pensamiento –intuicionista,
formalista, logicista, etc.- de la disciplina, bien sea ortodoxa o
heterodoxa. Sólo puede entenderse esta intromisión como el de un cierto
grado de insatisfacción de aquellos que nos sentimos del país de Liliput
frente a luminarias como Arquímedes, Newton, Euler, Gauss, Cantor, Gödel, -
y con la extrema prudencia del que desconoce lo que desconoce-, porque no
somos capaces de entender los fundamentos de la materia. Y cuando indagamos
algo sobre el tema, ocurre que se acompasan las respuestas por decenas, pero
los interrogantes por centenas. Es posible que la cosa sea así a juzgar por
las historias de las matemáticas –algunas excelentes- que he podido leer con
verdadera fruición. En cualquier caso esta es la Historia de la Ciencia o,
para ser más precisos, del conocimiento científico: sobrevivir en el barco
de lo conocido en el proceloso mar de lo ignoto.
Bibliografía:
- Matematical thought from ancient to modern times
por Morris Kline
(ver el último capítulo sobre los fundamentos de las matemáticas y las
escuelas logicista, intuicionista y formalista).
- A History of mathematics
por Carl B. Boyer
(ver el capítulo sobre la aritmetización del análisis).
- Viaje a través de los genios
por William Dunham
en la traducción española (Viaje a través de los genios) ver los capítulos
11 (la no enumerabilidad del contínuo) y 12 (Cantor y el reino de los
transfinito).
- Introducción a la lógica y al análisis formal
por Manuel Sacristán
(capítulo XII para una exposición del teorema de incompletitud de Gödel).
- Análisis Matemático
por Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio
(para una discusión sobre el teorema de Liouville que se menciona).
- Conceptos de Matemática moderna
por Ian Stewart
(ver capítulo 9, Contar: lo infinito y lo infinito).
- Historia de las Matemáticas
por K. Ríbnikov
(ver capitulo 7, epígrafe sobre Construcción de la teoría del número real y
la teoría de conjuntos).
- De aquí al infinito
por Ian Stewart
(ver capítulo 5 para el concepto de conjunto infinito en Cantor).
- Más allá de los números
por John A. Paulos
(ver epígrafe Conjuntos infinitos).
- Elements D´histoire des Mathématiques
por Nicolas Bourbaki
(ver capítulo 1 para los fundamentos de las matemáticas y la teoría de
conjuntos y el capítulo sobre los números reales). Versión española en
Alianza Universidad.
- Los principios de las Matemáticas (The Principles of Mathematics)
por Bertrand Russell
(capítulos 30 sobre la teoría de los números de Dedekind, el capítulo 33
sobre los números reales y la negación de un número irracional como límite
de números racionales, el capítulo 35 sobre la definición de continuidad en
Cantor, el capítulo 43 sobre la filosofía del infinito). Versión española en
Espasa-Calpe
- Aventuras Matemáticas
por Miguel de Guzmán
(capítulo 4 sobre la diagonización y la no enumerabilidad del conjunto de
todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado).
- La Nueva Mente del Emperador
por Roger Penrose
(el libro es en realidad una discusión sobre el décimo problema de Hilbert y
que Penrose concreta así: “existe algún procedimiento mecánico general que
pueda resolver, en principio, todos los problemas de las matemáticas”. El
punto débil del libro estriba en que Penrose se apoya en el teorema de la
diagonalización de Cantor para contestar negativamente, pero previamente
discute los conceptos de computabilidad de la aritmética a partir de la
máquina universal de Turing. Si no se admite el teorema de Cantor sobre los
números transfinitos, todo se viene abajo).
- Las Sombras de la Mente
por Roger Penrose
(en el capítulo 3 sigue la discusión sobre la no computabilidad, manteniendo
la tesis o demostración de que “la comprensión matemática humana no puede
ser reducida a mecanismos computacionales cognoscibles).
- Grandes Matemáticos
por Georg W. Dauben, en revista de Investigación y Ciencia.
- Breve Historia del Infinito
por A. W. Moore, en el número de junio de 1.995 de Investigación y Ciencia
- Breve Historia de las Matemáticas
por Egmont Colerus.
- La Matemática: su contenido, métodos y significado
por Kolmogorov, Laurentief y otros, en Alianza Universidad
(parte 1, capítulo 1, visión general de la Matemática, Aritmética y
Geometría. (En esta obra se parte de un concepto geométrico de número real
como el cociente de dos magnitudes inconmensurables, tal como la raíz de 2,
más tarde se pasa a una idea de límite como “un proceso de medida
infinitamente mejorable”, para acabar con estas palabras: “el concepto mismo
de número real continúa desarrollándose y está de hecho lejos todavía de ser
un concepto completo”).
- La Teoría de los Números
por Javier Cilleruelo y Antonio Córdoba
(en su capítulo 6 se recogen las demostraciones de trascendencia de los
números “ ” y “ ”. Se aproxima los números reales por racionales utilizando
las fracciones de Farey).
- Las raíces del Cálculo Infinitesimal en el siglo XVII
por Pedro González Urbaneja, en Alianza Editorial.
- Fundadores de las Matemáticas Modernas
por F. Gareth Ashurst.
- El rincón de la pizarra
por Miguel de Guzmán.
- ¿Qué es la Matemática?
por Courant / Robbins.
- Ideas de Espacio
por Jeremy Gray
(una historia concisa de la Geometría centrada en el tema del postulado de
las paralelas).
- Galois Theory
por Ian Stewart.
- ¿Qué es la lógica matemática?
por C.J. Ash, C.J. Brickhill, L.M. Valdés, N.H. Williams
edit. Tecnos.
- Los Lógicos
por Jesús Mosterín.
- El teorema de Gödel (Gödel´s proof, 1958)
por E. Ángel, J. R. Newman
- Fundamentos para una teoría general de conjuntos
por George Cantor
ed. Crítica.
- El camino a la realidad (The road to Reality, 2004)
por Roger Penrose
(en especial en el capítulo 16).
- Ideas del infinito
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