Tasas Nominales y Efectivas de Interés, Capitalización Continua e Inflación

1. Introducción

El objetivo del capítulo es familiarizar al lector en cálculos de matemáticas financieras utilizando períodos y frecuencias de capitalización diferentes a un año. Esto le permitirá manejar asuntos financieros personales que en la mayoría de casos son cantidades mensuales, diarias o continuas. Orientamos al lector a considerar la inflación en los cálculos de valor del dinero en el tiempo.

2. Tasas nominales y efectivas de interés

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo resultado que la tasa nominal según el período de capitalización. La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente nominal y efectiva.

2.1. Tasa Nominal

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una tasa de interés simple.

Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa nominal es:

j = tasa de interés por período x número de períodos

Ejercicio 116 (Calculando la TEA)

¿A cuánto ascenderá un préstamo de UM 1,000 al cabo de un año si el interés del 36% capitaliza mensualmente? ¿Cuál es la TEA?

Solución:

VA = 1,000; i = 0.03 (36/12); n = 12; VF = ?; TEA = ?

Luego la TEA del préstamo es:

Como vemos el préstamo de UM 1,000 ganó 42.58% de interés en un año. Esto es, a la tasa nominal del 36%, el Banco en un año ganó la tasa efectiva del 42.58%, la misma que representa la tasa efectiva anual (TEA).

2.2. Tasa Efectiva

Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas.

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Las tasas nominales y efectivas, tienen la misma relación entre sí que el interés simple con el compuesto (Capítulo 3). Las diferencias están manifiestas en la definición de ambas tasas.

Con el objeto de conocer con precisión el valor del dinero en el tiempo es necesario que las tasas de interés nominales sean convertidas a tasas efectivas. Por definición de la palabra nominal «pretendida, llamada, ostensible o profesada» diríamos que la tasa de interés nominal no es una tasa correcta, real, genuina o efectiva.

La tasa de interés nominal puede calcularse para cualquier período mayor que el originalmente establecido. Así por ejemplo: Una tasa de interés de 2.5% mensual, también lo expresamos como un 7.5% nominal por trimestre (2.5% mensual por 3 meses); 15% por período semestral, 30% anual o 60% por 2 años. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual capitaliza el interés. La tasa efectiva es lo opuesto. En forma similar a las tasas nominales, las tasas efectivas pueden calcularse para cualquier período mayor que el tiempo establecido originalmente como veremos en la solución de problemas.

Cuando no está especificado el período de capitalización (PC) suponemos que las tasas son efectivas y el PC es el mismo que la tasa de interés especificada.

Es importante distinguir entre el período de capitalización y el período de pago porque en muchos casos los dos no coinciden.

Por ejemplo:

Si una persona coloca dinero mensualmente en una libreta de ahorros con el 18% de interés compuesto semestralmente, tendríamos:

Período de pago (PP) : 1 mes

Período de capitalización (PC) : 6 meses

Análogamente, si alguien deposita dinero cada año en una libreta de ahorros que capitaliza el interés trimestralmente, tendríamos:

Período de pago (PP) : 1 año

Período de capitalización (PC) : 3 meses

A partir de ahora, para solucionar los casos que consideren series uniformes o cantidades de flujos de efectivo de gradiente uniforme, primero debemos determinar la relación entre el período de capitalización y el período de pago.

2.2.1. Derivación de la fórmula de la tasa efectiva

Una forma sencilla de ilustrar las diferencias entre las tasas nominales y efectivas de interés es calculando el valor futuro de UM 100 dentro de un año operando con ambas tasas. Así, si el banco paga el 18% de interés compuesto anualmente, el valor futuro de UM 100 utilizando la tasa de interés del 18% anual será:

[19] VF = 100 (1 + 0.18)1 = UM 118

Ahora, si el banco paga intereses compuestos semestralmente, el valor futuro incluirá el interés sobre el interés ganado durante el primer período. Así, a la tasa de interés del 18% anual compuesto semestralmente el banco pagará 9 % de interés después de 6 meses y otro 9% después de 12 meses (cada 6 meses).

El cuadro no toma en cuenta el interés obtenido durante el primer período. Considerando el período 1 de interés compuesto, los valores futuros de UM 100 después de 6 y 12 meses son:

[19] VF6 = 100 (1 + 0.09)1 = UM 109.00

[19] VF12 = 109 (1 + 0.09)1 = UM 118.81

9% representa la tasa efectiva de interés semestral. Como vemos, el interés ganado en 1 año es UM 18.81 en lugar de UM 18. Luego, la tasa efectiva anual es 18.81%.

La fórmula para obtener la tasa efectiva a partir de la tasa nominal es:

i = tasa periódica

j = tasa nominal

m = número de períodos de capitalización

Despejando la fórmula [43] obtenemos la fórmula de la tasa nominal de interés en función de la tasa efectiva equivalente:

El subíndice m de j indica el número de veces por año que capitaliza.

Fórmulas para calcular la tasa periódica

Tasa periódica: Tasa de interés cobrada o pagada en cada período. Por ejemplo, semanal, mensual o anual. Tiene la particularidad de ser simultáneamente nominal y efectiva.

Fórmula que permite calcular la tasa periódica a partir de la tasa efectiva dada.

Fórmula que permite calcular la tasa efectiva anual (TEA) a partir de la tasa periódica dada.

2.2.2. Calculando las tasas efectivas

Con la fórmula [43] podemos calcular las tasas efectivas de interés para cualquier período mayor que el de capitalización real. Por ejemplo, la tasa efectiva del 1% mensual, podemos convertirla en tasas efectivas trimestrales, semestrales, por períodos de 1 año, 2 años, o por cualquier otro más prolongado. En la fórmula [43] las unidades de tiempo en i y j siempre deben ser las mismas. Así, si deseamos la tasa de interés efectiva, i, semestral, necesariamente j debe ser la tasa nominal semestral. En la fórmula [43] la m siempre es igual al número de veces que el interés estará compuesto durante el tiempo sobre el cual buscamos i.

Ejercicio 117 (Tasa efectiva)

Un préstamo no pagado al Banco tiene la tasa de interés del 3% mensual sobre el saldo pendiente de pago.

1) Determinar la tasa efectiva semestral. 2) Si la tasa de interés es de 7% por trimestre, calcular las tasas efectivas semestrales y anuales. 3) Con las cifras del (2) determinar las tasas nominales j.

Solución (1): La tasa de interés es mensual. Como lo solicitado es la tasa efectiva semestral aplicamos la fórmula (43B):

[43B] TEASEMESTRAL = (1 + 0.03)6 -1 = 0.1941

Solución (2): Para la tasa de 7% por trimestre, el período de capitalización es trimestral. Luego, en un semestre, m = 2. Por tanto:

[43B] TEASEMESTRAL = (1 + 0.07)2 -1 = 0.1449

[43B] TEAANUAL = (1 + 0.07)4 -1 = 0.3108

Solución (3):

(1) i = 0.07; n = 2; j = ?

(44A) j = 0.07*2 = 0.14 semestral

(44A) j = 0.07*4 = 0.28 anual

Ejercicio 118 (Cálculo de tasas a partir de la tasa nominal)

Calcular las tasas efectivas (i) para 0.25%, 7%, 21%, 28%, 45%, 50% tasas nominales (j) utilizando la fórmula [43] con períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, mensual, semanal y diaria:

j = 0.0025; m = 2; i =?

j = 0.07; m = 4; i = ?

j = 0.21; m = 12; i = ?

j = 0.28; m = 52; i = ?

j = 0.50; m = 365; i = ?

Los resultados son tasas efectivas anuales equivalentes a tasas nominales.

Aplicando este proceso hemos elaborado el cuadro, para todas las tasas nominales y períodos de capitalización indicados.

Ejercicio 119 (Calculando la TEA, el FSA)

Una institución financiera publicita que su tasa de interés sobre préstamos que otorga es 1.86% mensual. Determinar la tasa efectiva anual y el factor simple de capitalización (FSA o VA/VF) para 12 años.

Solución: Para calcular la tasa efectiva anual:

j = 0.0186; n = 12; TEA =?

[43B] TEA = (1 + 0.0186)12 -1 = 0.2475

Hay dos formas de calcular el factor FSA:

TEA = 0.2475; m =12; FSA =?

1º Por interpolación entre i=0.24 e i= 0.26 y n =12:

Graficando:

Interpolando:

Utilizando el factor de la fórmula [29] o la función VA, es la forma más fácil y precisa de encontrar el valor del factor:

i = 0.2475; n = 12; FSA =?

2.2.3. Capitalización continua con tasas efectivas de interés

Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos matemáticos complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de período para pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o ejercicios utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.

Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula [43] puede escribirse de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la constante de Neper (e) o logaritmo natural que viene preprogramada en la mayoría de calculadoras representado por ex.

Ecuación que define la constante de Neper

Cuando m se acerca a infinito, el límite de la fórmula [43] lo obtenemos utilizando j/m = 1h, lo que hace m = hj.

Ecuación para calcular la tasa de interés efectiva continua. De aplicación cuando la relación m = j es muy pequeña. En caso contrario operamos con la fórmula [43], sin embargo, debemos aclarar que al utilizarla cuando m / j es pequeña lleva al mismo resultado obteniendo dicho valor a través de la notación [45]; es decir, el enunciado anterior no es más que un caso práctico de la expresión [43].

Ejercicio 120 (Calculando la tasa continua)

1) Para la tasa nominal del 18%, la tasa efectiva anual continua será:

j = 0.18; e = 2.71828; i =?

[45] i = (2.71828)0.18 - 1 = 0.1972 TEA

2) Calcular la tasa efectiva anual y mensual continua (TEAC) para la tasa de interés de 21% anual compuesto continuamente.

[45] i =( 2.71828)0.0175-1 = 0.01765 tasa efectiva mensual continua

[45] i = (2.71828)0.21 - 1 = 0.233678 TEAC

3) Una persona requiere el retorno efectivo mínimo de 22% sobre su inversión, desea saber cuál sería la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar la capitalización continua. En este caso, conocemos i y deseamos encontrar j, para resolver la ecuación [43] en sentido contrario. Es decir, para i = 22% anual, debemos resolver para j tomando el logaritmo natural (ln).

[45] ej - 1 = 0.22

ej = 1.22

ln ej = ln 1.22

j = 0.1989 (19.89%) tasa nominal

La fórmula general para obtener la tasa nominal dada la tasa efectiva continua es:

, aplicando al numeral (3), obtenemos:

j = ln(1.22) = 19.89% tasa nominal

2.3. Cuando los períodos de capitalización y pagos no coinciden

En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide con el de pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago al objeto de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Cuando no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las tablas de interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas.

Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el período de capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones:

1. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas factores de pago único (VA/VF, VF/VA).

2. Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de problemas) o factores de gradientes.

2.3.1. Factores de pago único

Para esta condición debemos satisfacer dos requisitos: 1) Debe utilizarse la tasa periódica para i, y 2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. Luego, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente forma:

VA = VF (VA/VF), i periódica, número de períodos

VF = VA (VF/VA), i periódica, número de períodos

Así, para la tasa de interés del 18% anual compuesto mensualmente, podemos utilizar variedad de valores para i y los valores correspondientes de n como indicamos a continuación con algunos ejemplos:

Tasa de interés efectiva i Unidades para n

1.5% mensual Meses

4.57% trimestral Trimestres

9.34% semestral Semestral

19.56% anual Años

42.95% cada 2 años Período de dos años

70.91% cada 3 años Período de tres años

Los cálculos de la tasa periódica, lo hacemos aplicando la ecuación [43]. Como ejemplo desarrollaremos el proceso para la obtención de la tasa efectiva trimestral:

j = 1.5 * 3 = 4.5% (0.045); m = 3; i =?

El mismo procedimiento es aplicable para la obtención de la tasa efectiva de un número infinito de unidades de n..

Ejercicio 121 (Capitalización de depósitos variables)

Si depositamos UM 2,500 ahora, UM 7,500 dentro de 3 años a partir de la fecha del anterior abono y UM 4,000 dentro de seis años a la tasa de interés del 18% anual compuesto trimestralmente. Deseamos saber cuánto será el monto acumulado dentro de 12 años.

Solución:

Como sabemos, en las ecuaciones sólo utilizamos tasas de interés efectivas o periódicas, por ello, primero calculamos la tasa periódica trimestral a partir de la tasa nominal del 18%:

j = 0.18; n = 4; i =?

Utilizando la tasa periódica de 4.5% por trimestre y luego períodos trimestrales para n, aplicamos sucesivamente la fórmula [19].

n1..3 = (12*4) = 48, (8*4) = 32 y (6*4) = 24

Respuesta:

El monto que habremos acumulado dentro de 12 años, capitalizados trimestralmente es UM 62,857.55

2.3.2. Factores de serie uniforme y gradientes

Cuando utilizamos uno o más factores de serie uniforme o gradiente, debemos determinar la relación entre el período de capitalización, PC, y el período de pago, PP. Encontramos esta relación en cada uno de los 3 casos:

1. El período de pago es igual al período de capitalización, PP = PC

2. El período de pago es mayor que el período de capitalización, PP > PC

3. El período de pago es menor que el período de capitalización, PP < PC

Para los dos primeros casos PP = PC y PP > PC, debemos:

a) Contar el número de pagos y utilizar este valor como n. Por ejemplo, para pagos semestrales durante 8 años, n = 16 semestres.

b) Debemos encontrar la tasa de interés efectiva durante el mismo período que n en (a).

c) Operar en las fórmulas de los tres grupos de problemas sólo con los valores de n e i.

Ejercicio 122 (Capitalización de una anualidad semestral)

Si ahorramos UM 300 cada 6 meses durante 5 años. ¿Cuánto habré ahorrado después del último abono si la tasa de interés es 24% anual compuesto semestralmente?.

Solución:

Como n está expresado en períodos semestrales, requerimos una tasa de interés semestral, para ello utilizamos la fórmula [44B].

C = 300; m = 2; j = 0.24; n = (5*2) = 10; i =?; VF = ?

Con esta tasa calculamos el VF de estos ahorros aplicando la fórmula [27] o la función VF.

Respuesta:

El monto ahorrado es UM 5,264.62

2.3.3. Períodos de pagos menores que los períodos de capitalización

Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago es menor al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depende de las condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos referimos al manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conducir a tres posibilidades:

1. No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los períodos de capitalización.

2. Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simple.

3. Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto.

De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quiere decir, sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no pagamos intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final del período de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y muchas empresas de crédito.