The American Economic Review, vol. XXXV (1945), págs. 909-25.Theory of Games and Economic Behaviour, de John Neumann y Oskar Morgenstern (Princeton University Press, 1944, XVIII + 625 págs.)De la Universidad de Minnesota

 Si no hubiera hecho más que llamar nuestra atención sobre la existencia y exacto significado de ciertas lagunas fundamentales de la teoría económica, la Teoría de los juegos y del comportamiento económico, de von Neuman y Morgenstern, ya habría sido un libro de destacada importancia. Pero hace más que eso. Es un libro principalmente constructivo: cuando consideran que la teoría actual es insuficiente, los autores presentan una elaboración analítica al efecto de resolver el problema.

Seríamos injustos con los autores si dijéramos que su libro es una aportación únicamente a la ciencia económica. El ámbito del libro es mucho más amplio que eso. Los métodos aplicados por los autores para abordar los problemas económicoad suficiente para ser válidos en la política, en la sociología e incluso en la estrategia militar. Su aplicabilidad a los que son propiamente juegos (al ajedrez y al póker, p. ej.) es evidente por el mismo título del libro. Y, además, esta obra tiene un considerable interés desde el punto de vista puramente matemático. De todas formas, nosotros limitaremos nuestro comentario principalmente a los aspectos puramente económicos de la Teoría de los juegos y del comportamiento económico.

Nuestro comentario es, en gran medida, puramente expositivo , lo que queda justificado por la importancia del libro, su empleo de conceptos nuevos y desacostumbrados y su misma extensión, que para algunos pudiera suponer un grave obstáculo.

Ya al menos desde los trabajos de Cournot sobre el duopolio han conocido los economistas la existencia de ese vacío que el susodicho libro trata de llenar, aun cuando todavía hay muchos economistas que no advierten la gravedad de esa falta. No existe solución adecuada al problema de definir el comportamiento económico racional de un sujeto cuando la misma racionalidad de su actuación depende de la conducta probable de otros individuos; en el caso de oligopolio, de otros vendedores. Cournot y muchos otros autores posteriores han tratado de eludir esta dificultad suponiendo que cada uno de los sujetos tienen una idea precisa de lo que los demás harán dadas las circunstancias de cada momento. Y, según sea este comportamiento esperado de los demás sujetos, tenemos las soluciones particulares y bien conocidas de Bertrand y Cournot, así como el concepto más general, de Bowley, de la variación conjetural . Es decir, el comportamiento racional del sujeto queda determinado si podemos suponer conocido a priori el comportamiento de los demás. Pero es que, si los demás han de comportarse también racionalmente, no podemos suponer conocida a priori su actuación, con lo que nos encontramos en un callejón sin salida.

Ya hace diez años, uno de estos autores indicó la forma o, al menos, una forma de salir de esta dificultad: consistía en rechazar la interpretación al pie de la letra del principio del máximo como sinónimo de comportamiento racional. no es que el máximo (de la utilidad o de los beneficios) no fuese deseable si cupiera alcanzarlo, pero no se puede llegar a un verdadero máximo cuando el sujeto de que se trate sólo controla uno de los factores que rigen el resultado (p. ej., de la competencia oligopolista).

Consideremos, por ejemplo, una situación de duopolio , en la que cada uno de los duopolistas, A y B, trata de hacer máximos sus beneficios. Los beneficios de A dependen no sólo de su propia actuación (estrategia) sino también de la estrategia de B. Si A pudiese controlar (directa o indirectamente) a estrategia de B, elegiría una para sí y otra para B que hiciesen máximos sus propios beneficios. Pero no puede decidir él la estrategia de B y no puede, por tanto, estar seguro de que consiga hacer máximos incondicionalmente sus beneficios mediante la elección de una adecuada estrategia para sí mismo.

Pudiera parecer que, en tal situación, no hay posibilidad de determinar el comportamiento racional de cada uno de los dos duopolistas. Pero es precisamente aquí donde entra en escena la nueva solución propuesta por los citados autores. Aclararemos esto con un ejemplo.

Supongamos que cada uno de los duopolistas puede seguir tres estrategias : A1, A2, A3, para el duopolista A, y B1, B2, B3, para el B. El beneficio que vaya a conseguir A, al que designaremos por a, esta determinado evidentemente por las estrategias que elijan cada uno de los duopolistas. Indicaremos esta dependencia por subíndices de a, refiriéndose el primer subíndice a la estrategia de A, y el segundo a la de B. Así, p. ej., a13 es el beneficio que obtendrá A si sigue la estrategia A1, y B la B3. Análogamente, b13 designa los beneficios de B en ese mismo caso. En las tablas de la página 470 representamos los resultados posibles de la competencia duopolista.

La tabla 1a muestra los beneficios que obtendrá A según sean las estrategias elegidas por A y por B. La primera fila corresponde a la elección A1, etc.; las columnas corresponden a las estrategias de B. La tabla 1b nos ofrece análogos datos sobre los beneficios de B.

Para indicar cómo A y B tomarán sus decisiones sobre las estrategias a seguir, nos serviremos del ejemplo numérico de las tablas 2a y 2b.

Sigamos los razonamientos de A cuando está eligiendo una estrategia. En primer lugar, observará que, si elige la estrategia A3, sus beneficios no pueden descender por debajo de 5, mientras que cualquiera de las otras alternativas le exponen al peligro de verlos reducidos hasta 3 e incluso hasta 1. Pero aún hay otra razón para elegir A3. Supongamos que exista el peligro de que vayan con el soplo a B, de que B se entere de la decisión de A antes de tomar él la suya. Si A hubiese elegido A1, por ejemplo, B-caso de saberlo de antemano-elegiría a su vez B3 para así hacer máximos sus beneficios, lo que reduciría a 1 el beneficio de A. Si A hubiese elegido A2, B escogería B2, lo que también reduciría por debajo de 5 los beneficios de A, siendo así que éste estaría seguro de obtener al menos 5 si eligiese A3.

Quizá se pueda discutir que la elección de A3, por A y en tales circunstancias, sea la única forma de definir el comportamiento racional, pero es desde luego una forma de definirlo y, como veremos más adelante, una forma muy fructífera. El lector puede fácilmente comprobar que un razonamiento análogo por parte de B le hará elegir B1 como su estrategia óptima. El resultado de la competencia duopolista resulta así determinado y puede describirse como sigue: A elegirá A3, B elegirá B1, el beneficio de A será 5, y 8 el de B.

Una interesante propiedad de esta solución es que ninguno de los duopolistas se sentirá inclinado a variar su decisión, incluso si pudiera hacerlo, después de darse cuenta de cuál es la estrategia del otro vendedor.

Y vamos a verlo. Supongamos que B ha descubierto que A se ha decidido por la estrategia A3.

Buscando en la tercera fila de la tabla 2b, verá inmediatamente que la mejor política que él puede seguir en ese caso es la B1, pues es la que le rinde mayores beneficios entre las que son compatibles con la A3. La solución a la que hemos llegado es de un carácter muy estable y ello independientemente de que se averigüe o no la estrategia seguida por el otro oferente.

Pero el ejemplo que acabamos de examinar es artificioso en varios aspectos importantes. Uno de ellos es que no tiene en cuenta la posibilidad de una coalición entre A y B. En nuestra solución, que da la combinación de estrategias (A3, B1), los beneficios conjuntos de ambos duopolistas suman 13, mientras que actuando de acuerdo podrían salir mejor que eso. Si conviniesen en seguir las estrategias A1 y B3, respectivamente, aumentarían sus beneficios conjuntos hasta 21, y podrían dividir esta suma de forma que ambos quedasen en mejor situación que con la solución anterior.

 Uno de los mayores logros de la Teoría de los juegos es el análisis de las condiciones y naturaleza de la formación de coaliciones. Más adelante indicaremos cómo se hace esto; pero, de momento, vamos a eliminar el problema de las coaliciones considerando un caso que es algo particular, pero de gran interés teórico; el caso de beneficios conjuntos constantes, del cual ponemos un ejemplo en las tablas 3a y 3b.

La tabla 3a es idéntica a la 2a; pero en la 3b hemos elegido las cifras de manera que los beneficios conjuntos de ambos duopolistas siempre sumen lo mismo (en este caso, 10) sean cuales fueren las estrategias elegidas, en cuyo caso lo que A gana lo pierde B, y viceversa. Por tanto, ya intuitivamente se comprende (aunque los autores se toman grandes trabajos para demostrarlo rigurosamente) que no se formará ninguna coalición.

También aquí podemos llegar a la solución mediante el razonamiento empleado en el caso anterior, solución que resulta ser de nuevo (A3, B1), con los respectivos beneficios de 5 y 5, que suman 10, y sigue siendo de aplicación lo que dijimos anteriormente sobre la estabilidad de la solución y la falta de interés de averiguar los planes del rival .

Hay, sin embargo, en este ejemplo un elemento artificioso y del que depende que la solución sea o no determinada. Para comprenderlo basta con intercambiar 5 y 6 en la tabla 3a. La nueva situación así producida viene representada en la tabla 4, que da los beneficios de A para las diferentes estrategias .
No hay ahora ninguna solución que posea la estabilidad del ejemplo anterior. En efecto, supongamos que A elige A3; si B lo averigua, escogerá evidentemente B2, que le proporciona el mayor beneficio compatible con A3. Pero en ese caso A3 ya no sería la estrategia óptima de A, pues puede obtener mayores beneficios siguiendo A1; y si así lo hace, la estrategia óptima de B ya no es B2 sino B3, etc. No hay ninguna solución que no estimule al menos a uno de los rivales a variar su decisión si averigua la del otro. No existe ninguna estabilidad .

¿Qué es lo que, al construir la tabla, hace que la solución del caso 3 sea determinada y que no lo pueda ser en el caso 4? La respuesta es que la tabla 3 tiene un punto mixto de estabilidad o punto de ensilladura (un mínimo -máximo) del que carece la tabla 4.

Este punto mixto de estabilidad goza de las dos siguientes propiedades: es el mayor de todos los mínimos de las filas y, al mismo tiempo, es el menor de los máximos de las columnas. Así, en la tabla 3a, los mínimos de las filas son respectivamente 1, 3 y 5, siendo este último el mayor de ellos (maximum-minimorum); por otra parte, los máximos de las columnas son respectivamente 5, 8 y 9, siendo 5 el menor de ellos (minimum-maximorum). Por tanto, la combinación (A3, B1) da lugar al mayor de los mínimos de las filas y al menor de los máximos de las columnas, constituyen así un punto mixto de estabilidad. Por el contrario, es fácil ver que la tabla 4 no contiene un punto tal. En ella, 5 es también el máximo de los mínimos, pero el mínimo de los máximos es ahora 6; no coinciden uno con otro y es esta falta de un punto mixto de estabilidad la que da lugar a la indeterminación existente en la tabla 4.

¿Por qué es necesaria (y suficiente) a existencia de un solo punto mixto de estabilidad para asegurar el carácter determinado de la solución? La respuesta está implícita en el razonamiento que hemos hecho sobre los ejemplos anteriores: si A elige su estrategia a fin de encontrarse protegido en el caso de que se descubra su decisión, elegirá la estrategia cuya fila de la tabla convenga el mayor valor de los mínimos, es decir, la fila correspondiente al maximum-minimorum (fila que en el caso de la tabla 4 es A3), pues así está seguro de que sus beneficios no serán menores de 5 aunque B se entere de su decisión. Por su parte, B, siguiendo el mismo principio, elegirá la columna (o sea la estrategia) que contenga el minimum-maximorum (B1 en la tabla 4), asegurándose así lograr unos beneficios de al menos 4 aunque su rival se entere de su decisión.

De esta forma, ambos duopolistas se han asegurado un cierto mínimo de beneficios: 5 y 4 respectivamente. Pero éstos sólo suman 9. Queda un resto, 1, por adjudicar, y se lo adjudicará el que mejor pueda prever los planes de su competidor. Es este residuo el que explica (y mide) el grado de la indeterminación, y su presencia no sorprenderá a los economistas familiarizados con esta clase de fenómeno por la teoría del monopolio bilateral. Pero hay veces en las que este residuo es cero, a saber: cuando el minimum-maximorum coincide con el maximum-minimorum, lo que por definición implica la existencia de un punto mixto de estabilidad y la total determinación de la solución.

Al llegar a esta fase de su estudio, los autores de la Teoría de los juegos tuvieron ellos mismos que hacer una elección. Podrían haber aceptado el hecho de que no siempre existen esos punto mixtos de estabilidad, con lo que, en general, siempre habría presente cierto grado de indeterminación. Pero prefirieron librarse de la indeterminación mediante una muy ingeniosa modificación del proceso que lleva a la elección de la estrategia adecuada.

Hasta ahora, el cuadro que hemos presentado de un duopolista que trata de tomar una decisión respecto a la estrategia a seguir, era el de un hombre que razona cuál de las diversas posibles actuaciones le resulta más ventajosa (estrategia pura). Vamos ahora a variar este cuadro y a poner en manos de este empresario un conjunto de dados que va a lanzar para así determinar la estrategia que va a elegir. Es decir: introducimos un elemento aleatorio en la decisión (estrategia mista) . Pero no todo se deja al azar. El duopolista A debe enunciar de antemano una regla sobre cuáles de los resultados de la tirada -supongamos que sólo se lanza un dado-le harán elegir una estrategia determinada. Para aclarar esto, utilizaremos una tabla algo más sencilla pero menos interesante que las empleadas hasta ahora. En esta nueva tabla (la 5) , cada duopolista sólo dispone de dos estrategias.

Una regla que A podría adoptar sería, p. ej.:

Si el resultado de la tirada es 1 ó 2, elijo A1.

Si el resultado de la tirada es 3, 4, 5 ó 6, elijo A2.

Si se sigue esta regla, la probabilidad de que A elija A1 es 1/3, y la de que elija A2 es 2/3. Si se hubiera adoptado otra regla (por ejemplo, la de elegir A1 si el resultado de la tirada es 1, 2 ó 3), la probabilidad de que se eligiera A1 habría sido 1/2. Llamamos coeficiente aleatorio de A a la fracción que expresa la probabilidad de que A elija A1. En los dos ejemplos anteriores, los coeficientes aleatorios de A serían 1/3 y 1/2, respectivamente 

Como caso especial, el valor del coeficiente aleatorio podría ser cero (lo que significaría que decididamente se escoge la estrategia A2) o 1 (lo que significa que A escoge decididamente A1), con lo que, en cierto sentido, las estrategias puras pueden considerarse como un caso especial de las mixtas. De todas formas, esta última afirmación está sujeta a condiciones bastante importantes y de compleja naturaleza, en las que no entraremos aquí.

Ahora, en vez de escoger una de entre las estrategias de que dispone, el duopolista A ha de escoger el coeficiente aleatorio óptimo (que, en cierto sentido, aún no está definido). ¿Cómo se hace la elección del coeficiente aleatorio? Para ello, se construye una tabla que se diferencia en dos aspectos importantes de las que hemos empleado hasta ahora, y un ejemplo de la cual es la tabla 6. En ellas, cada fila corresponde a un posible valor del coeficiente aleatorio de B. Como el coeficiente aleatorio puede tomar cualquier valor entre cero y 1 (ambos incluidos), no hay que considerar la tabla más que como una muestra.

Los números que figuran en la tabla son los valores medios (esperanzas matemáticas) correspondientes a la elección de los coeficientes aleatorios indicados por las respectivas fila y columna . (Hay que advertir que la tabla 6 no es más que un artificio a efectos de la exposición, y los procedimientos que se emplean en el libro de que tratamos son algebraicos y mucho más sencillos en el cálculo).

Si ahora suponemos, con los autores, que cada uno de los duopolistas trata de hacer máxima la esperanza matemática de sus beneficios (tabla 6) en vez de los beneficios mismos (tabla 5), podría parecer que, caso de que no exista un punto mixto de estabilidad, sigue estando presente la causa de la dificultad. Pero no es vano hemos introducido las estrategias mixtas. Se puede demostrar (y el que primero demostró este teorema fue von Neumann, ya en 1928) que en la tabla de la esperanza matemáticas (como la 6, p. ej.)siempre existe un punto mixto de estabilidad, con lo que el problema es siempre determinado. .

El lector, que puede haber visto con cierto recelo la introducción de los dados en el proceso de la toma de decisión, estará seguramente de acuerdo en que, éste es un resultado bastante espectacular. Aunque la primera impresión fuera la contraria, resulta que es posible convertir el problema en determinado. pero ello tiene un precio: parece preciso aceptar las estrategias mixtas y suponer que lo único que importa es la esperanza matemática de los beneficios (y no, por ejemplo, su varianza). Muchos economistas considerarán que ese precio es demasiado elevado. Además, se podría discutir la necesidad de dar carácter determinado a un problema de esta naturaleza, y quizá debiéramos considerar como solución el intervalo de indeterminación dado por los dos puntos críticos: el minimum-maximorum y el maximum-minimorum.

Como ya hemos indicado anteriormente, no hay que prescindir, en general, de la posibilidad de una coalición, posibilidad que resulta especialmente evidente a considerar situaciones económicas más complejas.

Podría darse, p. ej., una situación en la que no haya más que dos vendedores y dos compradores, en cuyo caso se podría formar una coalición de vendedores y otra de compradores. Pero también cabría que uno de los compradores sobornase de alguna forma a uno de los vendedores para enfrentarse juntos con los otros dos. E igualmente se pueden imaginar otras varias combinaciones de este tipo.

Veíamos que, cuando sólo figuran dos personas en escena, cual en el caso del duopolio (en el que prescindíamos del papel de los consumidores), no se formaría coalición si la suma de los beneficios de ambos sujetos era constante. Pero, cuando el número de participantes es tres o más, pueden provechosamente formarse subcoaliciones incluso si la suma de los beneficios de todos ellos es constante. Así, en el ejemplo anterior de cuatro sujetos, podría ser ventajoso para los vendedores combinarse contra los compradores, incluso si (o, quizá, especialmente si) los beneficios de los cuatro siempre suman la misma cantidad.

Así, pues, podemos estudiar la formación de coaliciones sin abandonar el tan conveniente supuesto de la constancia de la suma de los beneficios. En realidad, cuando se sabe que esa suma no es constante, se puede introducir (en teoría) un nuevo y ficticio participante, quien, por definición, pierde todo lo que ganan los participantes reales, y viceversa. Con ello, podemos considerar que una situación de beneficios globales no constantes y tres personas, p. ej., es un caso especial de la situación de beneficios globales constantes y cuatro personas. Esta es una razón más limitar la mayor parte del estudio (tanto en el libro como en este artículo) al caso de beneficios globales constantes, y ello a pesar de que los problemas económicos son casi siempre del tipo de suma no constante.

Pasaremos ahora a estudiar el caso más sencillo de los de suma constante que admite la formación de una coalición: el de tres participantes .Aquí ya no es suficiente la técnica de análisis que hemos empleado en el caso de sólo dos sujetos. El número de posibilidades aumenta rápidamente. Cada uno de los participantes puede actuar independientemente, o bien se puede formar una de las tres posibles coaliciones de dos personas (A y B contra C, A y C contra B, B y C contra A). Y, si no fuera por la condición impuesta de que la suma de los beneficios ha de ser constante, cabría además la posibilidad de una coalición de los tres participantes.

También aquí se pone de manifiesto la novedad de la forma en la que los autores abordan el problema. En la mayor parte de la teoría económica tradicional, se postula la formación-o ausencia- de determinadas coaliciones . Así, p. ej., se estudia la economía de los cárteles sin investigar rigurosamente las condiciones necesarias y suficientes para su formación. Además, se tiende a excluir a priori fenómenos tales como la confabulación entre vendedores y compradores, aunque se sabe que tales fenómenos se dan en la realidad. La Teoría de los juegos, aunque en apariencia más abstracta que la teoría económica que ya nos es familiar, en estos puntos se aproxima mucho más de cerca a la realidad. Para dar una solución completa a los problemas de la teoría económica. hay que resolver los fenómenos que son la formación de coaliciones, el soborno, la confabulación, etcétera. Ahora disponemos de la respuesta a esas cuestiones, aunque en los casos más complicados sea de carácter un tanto formal y aunque no siempre nos proporcione la suficiente visión interna del funcionamiento del mercado en la realidad.

Volvamos ahora al caso de tres sujetos. Supongamos que dos de ellos son vendedores y el otro comprador. La teoría tradicional nos diría la cantidad vendida por cada oferente y el precio. Pero sabemos que en el proceso de la transacción uno de los vendedores puede sobornar al otro para que se abstenga de competir, con lo que este último de todas formas obtendría un beneficio y, por otra parte, el beneficio real del que realizó la venta sería inferior al normal en la cantidad que pagó a su rival

Conviene, pues, introducir el concepto de ganancia. La ganancia del participante sobornado es el importe del soborno, y la ganancia del vendedor es el beneficio obtenido con la venta menos el importe del soborno. Llamaremos imputación a una distribución concreta de las ganancias entre los participantes. La imputación no es un número, sino un conjunto de números. Así, p. ej., si las ganancias de los participantes en un caso determinado son gA, gB, gC, a lo que se llama imputación es al conjunto de esas tres g. La imputación resume el resultado del proceso económico. Para cada situación, hay muchas imputaciones posibles, y uno de los principales objetivos de la teoría económica es hallar, entre todas ellas, las que tendrán en un comportamiento racional.

En una situación como la descrita anteriormente (tres participantes y beneficios globales constantes), cada uno de los sujetos empezará preguntándose qué beneficios podrá obtener actuando independientemente, aunque sea en el pero de los casos y aunque los otros dos formen una coalición contra él. Para ello, considerará la situación como de sólo dos participantes (considerando a la coalición formada contra él como un solo sujeto) y calculará el maximum-minimorum del caso, o punto mixto de estabilidad, si es que ese punto existe, lo cual naturalmente siempre tendrá lugar si se emplean las estrategias mixtas. A continuación, el sujeto considerará la posibilidad de formar él una coalición con uno de los otros dos participantes. Y aquí se plantea la cuestión crucial: ¿Cuáles son las condiciones para que se pueda formar tal coalición?.

Antes de examinar en detalle esta cuestión, resumiremos en la tabla 8 los datos del caso.

Entre las muchas posibles imputaciones, consideremos las tres de la tabla 9:

Se observará que, en la imputación #1, B y C resultan en mejor situación que si hubieran actuado individualmente, pues obtienen 8,3 y 10,2 en vez de 7 y 10, respectivamente. B y C tendrán, por tanto, interés en formar una coalición, ya que sin ella no sería posible la imputación #1,. Pero, una vez formada la coalición, no es la #1 la imputación que más les conviene; con la #2, p. ej., ingresan 9,5 y 10,5 en vez de 8,3 y 10,2, respectivamente. En tales casos, diremos que la imputación #2 domina a la #1. Pudiera parecer, por otra parte, que la imputación #3 domina a su vez a la #2, pues promete aún más, tanto para B como para C. Pero promete demasiado; en la #3, la suma de las ganancias de B y C es 21, que es más de lo que la coalición puede lograr (véase a tabla 8). Así, pues, hay que descartar esta última imputación irreal, y no se puede decir que domine a ninguna otra.

La dominación es una relación de extraordinario interés. Por una parte, no es transitiva: puede ocurrir que una imputación, i1, domine a otra, i2, que domina a su vez a la i3, sin que ello quiera decir que i1 domine a i3; incluso puede que i1 esté dominada por 13 . Además, es fácil construir ejemplos de dos imputaciones (pongamos por caso) ninguna de las cuales domine a la otra. 

Para darnos una idea geométrica de esta situación un tanto extraña, fijémonos en la figura 1, en la cual los puntos de la circunferencia representan distintas imputaciones posibles. (Téngase presente, sin embargo, que esto no es más que una útil analogía geométrica.) Convengamos ahora en que si el punto #2 está a menos de 90 grados (en el sentido de las agujas del reloj) del punto #1, este último domina al #2. Es fácil de ver en la figura que #1 domina a #2 y que #2 domina a #3, pero a pesar de ello #1 no domina a #3.

Figura 1

Esta imagen geométrica nos servirá para definir el fundamental concepto de solución.

Consideremos los puntos (imputaciones) #1, #3, #5 y #7 de la figura 1. Ninguno de ellos domina a ninguno de los otros, ya que cada par de ellos está separado por 90 ó más grados. Pero cualquier otro punto del círculo está dominado por, al menos (en este caso, exactamente), uno de ellos: todos los puntos entre #1 y #3 están dominados por #1, etc.; no hay ningún punto de la circunferencia que no esté dominado por uno de los cuatro mencionados. Definimos una solución como un conjunto de puntos (imputaciones) que gozan de dos propiedades: 1) ninguno de los elementos del conjunto domina a ningún otro elemento del mismo conjunto, y 2) todo punto exterior al conjunto ha de estar dominado por al menos uno de los elementos del conjunto.

Hemos visto que los puntos #1, #3, #5 y 37 gozan de ambas propiedades, por lo que los cuatro puntos en conjunto forman una solución, Tiene importancia observar que no se puede considerar como solución a ninguno de esos puntos aisladamente; incluso si prescindiéramos de uno solo de esos puntos, los tres restantes ya no constituirían una solución. Por ejemplo: si prescindimos de #1, los puntos entre #1 y #3 no están dominados por ninguno de los #3, #5 o #7 restantes; ello violaría la segunda condición, por lo que esos tres puntos solos no constituyen solución. Por otra parte, si añadimos un quinto punto a los #1, #3, #5 y 37, el subsiguiente conjunto de cinco elementos tampoco constituye solución. Supongamos, p. ej., que es #2 el nuevo y quinto punto; observamos que #2 está dominado por #1 y que a su vez domina a #3, con lo que nos falta la primera condición.

Pero, al contrario de lo que podría dictarnos la intuición, un elemento de la solución puede estar dominado por puntos extraños a ésta: p. ej.: 31 está dominado por #8, etc.

Es fácil que haya más de una solución, y el lector no tendrá dificultad en comprobar que #2, #4, #6, #8 también forman solución, siendo evidente que existen infinitas más.

¿Existe siempre una solución por lo menos? Hasta ahora no se ha podido responder a esta pregunta. Entre los casos examinados por los autores no se ha encontrado ninguno que careciera de al menos una de ellas, pero aún no se ha demostrado que siempre haya de existir solución.

Para comprender la posibilidad teórica de un caso sin solución, alteraremos ligeramente el concepto de dominación (véase la figura 2) y diremos que #1 domina a #2 si su ángulo de separación (en el sentido de las agujas del reloj) no es mayor de 180º.

De esta forma resulta (en la figura 2) que el punto #1 domina al 3, pero no al #4; etc. Podemos ahora demostrar que en este caso no existe solución. Para ello, supongamos que existiese una solución y sea #1 uno de sus puntos (sin que esta elección concreta nos haga perder nada de generalidad). Es evidente que #1 no constituye por sí solo una solución, pues hay puntos de la circunferencia (el #4, por ejemplo) que no están dominados por #1; o sea, que la solución ha de incluir al menos dos puntos. Pero cualquier otro punto de la circunferencia, o bien está dominado por #1 (el #2, p. ej.,), o bien domina a 31 (el #4, p. ej), o bien ocurren ambas cosas (como en el #), lo que contradiría a la primera condición de los elementos de la solución. Por tanto, tampoco hay solución que conste de dos elementos. A fortiori, no hay soluciones que contengan más de dos puntos; es decir, hemos construido un ejemplo que no tiene ninguna solución. Pero el que tal situación pueda darse en economía (o en los juegos de azar, si se quiere) es aún objeto de discusión.

Fijémonos ahora en la interpretación económica del concepto de solución. Dentro de la solución, no hay motivo para variar de una imputación a otra, pues ninguna de ellas domina a otra del conjunto. Además, nunca hay razón suficiente para salirse de una solución determinada, pues toda solución extraña a la solución puede ser desacreditada por una imputación de la solución que domina a la exterior. Pero, como hemos visto, también la recíproca es generalmente cierta: las imputaciones de la solución pueden estar dominadas por las exteriores a la misma. Si prescindimos de esta última consideración, la solución de que se trate cobra un carácter institucional y, según los autores, una solución puede ser equivalente a lo que podríamos llamar los "standards de comportamientos" de una colectividad determinada.

Podemos ahora considerar que la multiplicidad de soluciones corresponde a distintos ordenamientos institucionales alternativos: a un cierto marco institucional sólo correspondería una solución. Pero aun así, queda un gran número de posibilidades, pues generalmente cada solución contiene más de una imputación. y aún existiría mayor indeterminación si no hubiéramos introducido las estrategias mixtas. Sería, pues, sorprendente que von Nuemann y Morgenstern no lograsen, en las aplicaciones que llevan a cabo, algo más que los resultados clásicos y no descubrieran imputaciones hasta aquí descuidadas o totalmente abandonadas; y señalan algunos resultados heterodoxos bastante interesantes, especialmente en el último capítulo del libro.

Pero hay un caso en el que, a la vista de la literatura posterior sobre la materia, no está justificada la pretensión de los autores de lograr mayor generalidad que la de la teoría económica, y es el caso que corresponde en esencia al monopolio bilateral (pág. 564, proposición 61:C). Empleando sus métodos nuevos. los autores llegan a un cierto intervalo de indeterminación del precio, que es un intervalo más amplio que el indicado por Böhm-Bawerk, por haber prescindido (como advierten los mismos autores) del supuesto del precio único. Pero en las teorías del excedente del consumidor (por no citar más de un ejemplo) ya se había llegado a una análoga ampliación del intervalo de indeterminación de precio levantando aquel mismo supuesto.

Repito, sin embargo, que la Teoría de los juegos ofrece una forma más general de abordar los problemas de la que sería posible de otro modo, y de ello es un ejemplo la existencia de soluciones discriminatorias, descubierta por métodos puramente analíticos; así como tampoco sería posible explicar, con los métodos y técnicas corrientes de la teoría económica, los diversos tipos de acuerdos y confabulaciones a los que nos hemos referido al hablar de los casos de tres y cuatro sujetos.

Las posibilidades de los nuevos métodos de von Neumann y Morgenstern parecen ser enormes y es de esperar que contribuyan a reforzar y aumentar el realismo de buena parte de la teoría económica; pero, también en gran parte, no son más que posibilidades, y los resultados están aún en gran medida por lograr. Aun empleando los más poderosos métodos matemáticos, las dificultades con las que se tropieza al tratar las situaciones en las que existen más de tres sujetos son enormes. Incluso los problemas del monopolio y del monopsonio están fuera de nuestro alcance en el estado actual de la investigación, y lo mismo puede decirse de la competencia perfecta, aunque pueda resultar que esta última no es una solución legítima, ya que excluye la formación de coaliciones que pueden dominar las imputaciones de competencia. Mucho han ayudado estos métodos a aclarar el problema del oligopolio, pero también aquí los resultados están lejos de alcanzar el grado de determinación deseado por el economista teórico.

Por todo ello, considero un tanto lamentables algunas de las afirmaciones hechas en el primer capítulo del libro atacando (con bastante falta de discriminación) las técnicas analíticas actualmente empleadas por los teóricos de la economía. Cierto que las deficiencias de la teoría económica señaladas en la Teoría de los juegos son muy reales, y no podríamos desear nada mejor que un modelo que nos diera las propiedades generales de un sistema de m vendedores y n compradores, p. ej., del cual pudieran considerarse como casos particulares el monopolio, el duopolio y la competencia perfecta. Pero desgraciadamente ni siquiera podemos vislumbrar aún el tal modelo. A falta del mismo, los economistas teóricos han empleado (y sin duda alguna seguirán empleando) otros, aunque menos satisfactorios, muy útiles de todas formas; pues no podemos permitirnos ignorar la necesidad social de unos resultados de la teoría económica, y ello aunque lo mejor de los mismos sea bastante tosco. El hecho de que se haya estudiado tanto la teoría de las fluctuaciones económicas no es una prueba de "cuánto se han subestimado las dificultades por resolver" (pág. 5), sino que más bien demuestra que la ciencia económica no puede permitirse el lujo de desarrollarse en la forma teóricamente más lógica cuando la necesidad de obtener resultado es tan imperiosa como el caso de los altibajos del nivel de empleo.

Ni tampoco es seguro, aunque sí posible desde luego, que, cuando se disponga de una teoría rigurosa elaborada según las directrices propuestas por von Neuman y Morgenstern, los resultados obtenidos en los problemas importantes sean lo suficiente distintos de los alcanzados con los métodos actuales (y reconocidamente imperfectos) como para justificar algunas de las más duras acusaciones hechas en el primer capítulo del libro. No hay que olvidar, p. ej., que, aunque sería de gran valor la explicación teórica de las coaliciones que se van a formar en una situación determinada, disponemos de conocimientos empíricos que podemos emplear como substitutivos (siempre imperfectos) de la teoría. Así, p. ej., la formación de cartels puede ser una cosa que tan se vea venir en una situación determinada, que el teórico puede sencillamente incluirla como uno de sus supuestos; mientras que von Neuman y Morgenstern demostrarían (al menos en principio) la formación del cartel sin tener que darla como un supuesto más (y lógicamente innecesario).

Los autores critican de tal forma la aplicación de los métodos matemáticos a la economía, que algunos lectores casi podrían llegar a pensar, a pesar de las protestas de aquéllos en contrario, que von Neumann y Morgenstern no se dan cuenta de que gran parte de los recientes progresos en muchos campos de la teoría económica se debe en gran medida al empleo de métodos matemáticos. Tampoco parecen advertir el hecho de que la economía desarrollada en forma literaria se basa, implícitamente, en las técnicas matemáticas que ellos critican. (Lo que ponen en duda no son en realidad los métodos de la economía matemática, sino aquellos elementos de la teoría económica que son comunes a la economía matemática y a la literaria). Aunque es cierto que ni siquiera el estudio matemático de la economía es siempre lo suficiente riguroso, generalmente lo es más que su correspondiente forma literaria, aunque esta última sea a veces más realista en muchos aspectos importantes.

Este comentarista no abriga la menor duda de que nada puede estar más lejos de la intención de los autores comentados que servir, alentar o hacer concesiones a aquellos otros que rechazan la investigación rigurosa de la economía, pero algunas vagas críticas incluidas en el primer capítulo pudieran surtir ese efecto y apenas merecen ir parejas de los logros positivos del resto del libro.

Probablemente, los economistas se sorprenderán de encontrar tan pocas referencias a trabajos económicos más recientes. Casi podría uno terminar la lectura del libro con la impresión de que la ciencia económica es sinónima de Böhm-Bawerk y Pareto. Ni siquiera se hace alusión a los primitivos del siglo XIX (como Cournot) ni a los autores de las últimas décadas (tales como Chamberlin, Joan Robinson, Frisch, Stackelberg). Pero quizá los autores puedan recabar la exención de relacionar su trabajo con el de sus antecesores, y ello en virtud del tremendo esfuerzo constructivo incorporado a su obra; pues no es por menos de admirar la audacia de visión, la perseverancia en los detalles y la profundidad de pensamiento de que hacen gala en la casi totalidad de las páginas del libro.

Por intrincado que pueda ser a veces el razonamiento, la exposición es notablemente lúcida y fascinante. Además, los autores se esfuerzan constantemente por evitar el supuesto de que el lector está familiarizado con algo más que las matemáticas elementales y, siempre que se necesitan, se forjan en el mismo libro las herramientas auxiliares que pudieran resultar ya más complicadas.

También es de mencionar, aunque esto ya se sale del ámbito de esta breve exposición, que, en el campo de los que propiamente son juegos (ajedrez, póquer), los resultados obtenidos son más concretos que algunas de las aplicaciones económicas. Los lectores que se interesen por la naturaleza de la determinación en el juego de ajedrez por la teoría del bluff en el póquer, o en la adecuada estrategia a seguir por Sherlock Holmes en su famoso encuentro con el profesor Moriarty, disfrutarán con la lectura de esta parte del libro, la cual no tiene relación directa con la ciencia económica. Y también es probable que el lector vea afectadas sus opiniones sobre las estrategias óptimas militares o diplomáticas.

Así, pues, la lectura de este libro, además de ser un paso más en la evolución intelectual del lector, hace pasar muy buenos ratos. La inmensa mayoría de los economistas se encontrarán capacitados para leerlo, incluso si la lectura ha de ser a veces lenta; el esfuerzo vale la pena. Y ya sólo nos queda por decir que la aparición de un libro de la envergadura de la Teoría de los juegos es en verdad un acontecimiento poco frecuente.